高中数学 课时跟踪检测（二）正弦定理的应用 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（二）正弦定理的应用层级一学业水平达标1．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于()A．9B．18C．9D．18解析：选C在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝＝＝6.又 C＝180°－120°－30°＝30°，∴S△ABC＝×6×6×＝9.2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12mB．8mC．3mD．4m解析：选D由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，＝，即AB＝＝＝4.3．海上的A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是()A．10nmileB.nmileC．5nmileD．5nmile解析：选D由题意，做出示意图，如图，在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得＝，解得BC＝5(nmile)．4．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°解析：选B由S△ABC＝3＝BC·CA·sinC＝×3×4sinC得sinC＝，又C为锐角，故C＝60°.5．在△ABC中，若－＝0，则△ABC的形状一定是()A．等腰三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形解析：选A在△ABC中， －＝0，∴＝，∴由正弦定理可得＝＝，可得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．解析：由正弦定理知，＝，结合条件得c＝＝2.又sinA＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝＋1.答案：＋17.在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的纵截面如图(顶部已经坍塌了)，A＝50°，B＝55°，AB＝120m，则它的高为________m．(结1果取整数)解析：延长AM，BN交于点C(图略)，C＝180°－A－B＝75°.由正弦定理有，AC＝·sinB＝.设高为h，则h＝AC·sinA＝·sin50°≈78(m)．答案：788．在△ABC中，已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，则△ABC的形状为________．解析： b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，由正弦定理，得2sin2Bsin2C＝2sinBsinCcosBcosC，即sinBsinC＝cosBcosC，∴cos(B＋C)＝0，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，∴△ABC是直角三角形．答案：直角三角形9.如图，一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求此时船与灯塔的距离．解：如题图，由正弦定理得，＝，所以BC＝30km.∴此时船与灯塔的距离为30km.10．在△ABC中，已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形．解：因为，a＝2bcosC，所以，由正弦定理得2RsinA＝4RsinBcosC.所以2cosCsinB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.所以sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.所以B－C＝nπ(n∈Z)．又因为B，C是三角形的内角，所以B＝C，即△ABC为等腰三角形．层级二应试能力达标1．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(30＋30)mB．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋3)m解析：选A由正弦定理可得＝，则PB＝＝30(＋)(m)．设树的高度为h，则h＝PBsin45°＝(30＋30)m.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形2C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D已知c－acosB＝(2a－b)cosA，由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA．化简得cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB－sinA＝0，则A＝90°或A＝B，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．3.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是()A．150°B．30°C．45°D．60°解析：选B设竹竿与地面所成的角为α，影子长为xm.由正弦定理，得＝，∴x＝sin(120°－α)． 30°<120°－α<120°，∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最...