第1课时等比数列的前n项和【基础练习】1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝()A．－2B．1C．－2或1D．－3【答案】A【解析】∵S3＋3S2＝0，∴＋＝0，即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)．故选A．2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足an＞0，q＞1且a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S6等于()A．63B．48C．42D．36【答案】A【解析】∵a3＋a5＝20，a2a6＝64，∴消去a2，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)，此时a2＝2，则a1＝1，则S6＝＝＝26－1＝63.故选A．3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则＝()A．4B．5C．8D．9【答案】D【解析】∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，∴＝q3＝8，解得q＝2.∴＝＝1＋q3＝9.故选D．4．设等比数列{an}的公比为q(0＜q＜1)，前n项和为Sn，若a1＝4a3a4且a6与a4的等差中项为a5，则S6＝________.【答案】【解析】∵a1＝4a3a4，a6与a4的等差中项为a5，∴由0＜q＜1，解得a1＝8，q＝.∴S6＝＝.5．已知数列{an}是等差数列且a3＝－6，a6＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝－6，a6＝0，∴a1＋2d＝－6，a1＋5d＝0，解得a1＝－10，d＝2.∴an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q，∵a1＝－10，a2＝－8，a3＝－6，∴b1＝a2＝－8，b2＝a1＋a2＋a3＝－10－8－6＝－24.∴q＝＝＝3.∴Sn＝＝＝4(1－3n)．6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn且a2＝1，S11＝33.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an，求证：{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.1∵∴解得a1＝，d＝，∴an＝.(2)∵bn＝＝，∴＝，∴{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．故前n项和Tn＝＝1－.7．已知等比数列{an}的公比q＞1且2(an＋an＋2)＝5an＋1，n∈N*.(1)求q的值；(2)若a＝a10，求数列的前n项和Sn.【解析】(1)∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，n∈N*，∴2an(1＋q2)＝5anq，化为2(1＋q2)＝5q.又q＞1，解得q＝2.(2)a＝a10，(a1×24)2＝a1×29，解得a1＝2.∴an＝2n.∴＝n.∴数列的前n项和Sn＝＝2.【能力提升】8．等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，则＝()A．－3B．－1C．1D．3【答案】A【解析】∵等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a.∵等比数列{an}中，a＝a1a3，∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3.故选A．9．(2019年江西景德镇模拟)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝()A．24B．28C．32D．36【答案】C【解析】方法一：∵S99＝＝56，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝a1q2·＝＝×56＝32.方法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，则b1q＝b2，b2q＝b3且b1＋b2＋b3＝56.∴b1(1＋q＋q2)＝56.∴b1＝＝8，b3＝b1q2＝32，即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32.10．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2a4＝16，a6＝32，记bn＝an＋an＋1，则数列{bn}的前5项和S5为________．【答案】93【解析】设数列{an}的公比为q，由a＝a2a4＝16得a3＝4，即a1q2＝4.又a6＝a1q5＝32，解得a1＝1，q＝2.∴an＝a1qn－1＝2n－1，bn＝an＋an＋1＝2n－1＋2n＝3·2n－1.∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，S5＝＝93.11．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋.已知a1＝1，a2＝，a3＝且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；2(2)证明：为等比数列．【解析】(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5×＝8×＋1，解得a4＝.(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1对n∈N＋都成立．∴＝＝＝＝.∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．3
