第2讲综合大题部分1.(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解析：(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理得sinCsinB＝.故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，由bc＝8，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解析：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解析：(1)由已知可得tanA＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0.解得c＝4(负值舍去)．(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2×sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.1.在△ABC中，B＝，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD＝α，sinα＝.(1)求sinC；(2)若BA·BC＝28，求AC的长．解析：(1)因为α∈(0，)，sinα＝，所以cosα＝＝，则sin∠BAC＝sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，所以cos∠BAC＝cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，sinC＝sin[π－(＋2α)]＝sin(＋2α)＝cos2α＋sin2α＝×＋×＝.(2)由正弦定理，得＝，即＝，所以AB＝BC.因为BA·BC＝28，所以AB×BC×＝28，由以上两式解得BC＝4.由＝，得＝，所以AC＝5.2.如图所示，△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.(1)求△ABC的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0，|φ|<)的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．解析：(1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝2A，又A＋B＋C＝π，所以A＝.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos，所以c2－10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋5.因为CO＝10×sin＝5，所以S△ABC＝×(5＋5)×5＝(3＋)．(2)因为AO＝10×cos＝5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30，故ω＝.因为f(－5)＝Msin[×(－5)＋φ]＝0，所以sin(－＋φ)＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.因为f(0)＝Msin＝5，所以M＝10，所以f(x)＝10sin(x＋)．3．已知函数f(x)＝2sinxcosx－3sin2x－cos2x＋2.(1)当x∈[0，]时，求f(x)的值域；(2)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝，＝2＋2cos(A＋C)，求f(B)的值．解析：(1)∵f(x)＝2sinxcosx－3sin2x－cos2x＋2＝sin2x－2sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，又∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，sin(2x＋)∈[－，1]，∴f(x)∈[－1,2]．(2)由题意可得sin[A＋(A＋C)]＝2sinA＋2sinAcos(A＋C)，∴sinAcos(A＋C)＋cosAsin(A＋C)＝2sinA＋2sinAcos(A＋C)，化简可得sinC＝2sinA，∴由正弦定理可得c＝2a.∵b＝a，∴由余弦定理可得cosB＝＝＝，∵0
