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首页文档中学教育高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数达标练习（含解析）新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数达标练习（含解析）新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

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第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大（小）值与导数[A级基础巩固]一、选择题1．函数y＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D.解析：令y′＝＝＝0(x>0)，解得x＝e.当x>e时，y′<0；当00.y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以ymax＝.答案：A2．函数f(x)＝x＋2cosx在区间上的最小值是()A．－B．2C.＋D.＋1解析：令f′(x)＝1－2sinx＝0，因为x∈，所以f′(x)＞0，所以f(x)在单调递增，所以f(x)min＝－.答案：A3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是()A．0≤a<1B．0C．m≤D．m<解析：令f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3.经检验，知x＝3是函数的最小值点，所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－.因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.答案：A二、填空题6．设x0是函数f(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是____1____．解析：令f′(x)＝(ex－e－x)＝0，得x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0，1)，切线斜率为k＝f′(0)＝0，所以切线方程为y＝1.答案：y＝17．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．解析：f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．所以f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.答案：－18．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1，且对任意x∈(0，1]，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当x∈(0，1]时，不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥.设g(x)＝，x∈(0，1]，则g′(x)＝＝－.令g′(x)＝0，得x＝.g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg′(x)＋0－g(x)↗极大值4↘因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)三、解答题9．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若f′(－1)＝0.求函数f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．解：f′(x)＝3x2－2ax－4，由f′(－1)＝0，得3＋2a－4＝0，所以a＝.所以f(x)＝(x2－4)，f′(x)＝3x2－x－4＝(3x－4)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.而f(－2)＝f(2)＝0，f(－1)＝，f＝－，所以f(x)max＝，f(x)min＝－.10．已知函数f(x)＝lnx－.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．解：(1)由题意得，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝.①当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．②当a<0时，令f′(x)>0，得x>－a，所以f(x)的单调递增区间为(－a，＋∞)．(2)由(1)可知，f′(x)＝.①若a≥－1，则当x∈[1，e]时，x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，2所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－(舍去)；②若a≤－e，则当x∈[1，e]时，x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝，所以a＝－(舍去)；③若－e0，所以f(x)在(－a，e)上为增函数，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，所以a＝－.综上所述，a＝－.B级能力提升1．若函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2，1)D．(－2，1)解析：因为f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增；在(－1，1)上单调递减，如图．函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，最小值为f(1)，所以解得－2≤a...
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