课时跟踪检测（六）数列层级一学业水平达标1．有下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；②数列的项数一定是无限的；③数列的通项公式的形式是唯一的；④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．其中正确的是()A．①B．①②C．③④D．②④解析：选A结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.2．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于()A．2B．3C．9D．32解析：选B因为an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3.3．数列0，，，，，…的一个通项公式是()A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝解析：选C已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝.4．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的()A．第20项B．第22项C．第24项D．第26项解析：选C由＝0.96，解得n＝24.5．设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于()A.B.C.＋D.－解析：选D∵an＝＋＋＋…＋，∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，∴an＋1－an＝＋－＝－.6．数列0，，，，，…的通项公式为________．解析：数列可化为，，，，，…观察可得：an＝.答案：an＝7．已知数列{an}满足am·n＝am·an(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________.解析：由am·n＝am·an，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.答案：278．数列{an}的通项公式为an＝n2－5n，则{an}的第______项最小．解析：an＝2－.∵n∈N*，∴当n＝2或3时，an最小，1∴{an}的第2或3项最小．答案：2或39．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)是．令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．10．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，求a4，a5.解：将a1＝2，a2＝代入通项公式，得解得∴an＝，∴a4＝＝，a5＝＝.层级二应试能力达标1．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是()A.B．5C．6D.解析：选Ba1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.2．一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列不可以作为其通项公式的是()A．an＝nB．an＝n3－6n2＋12n－6C．an＝n2－n＋1D．an＝解析：选C对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2＋12n－6，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于C，若an＝n2－n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．故选C.3．数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的()A．第127项B．第128项C．第129项D．第130项解析：选B把该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组一项：；第二组两项：，；第三组三项：，，；第四组四项：，，，；…容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项．4．已知数列{an}的通项公式为an＝2019－3n，则使an≥0成立的最大正整数n的值为________．解析：由an＝2019－3n≥0，得n≤＝673.∴n的最大值为673.答案：6735．已知无穷数列an＝n2－λn＋1(n∈N*)是单调递增数列，则λ的取值范围是________．解析：利用定义，an＋1－an>0对n∈N*恒成立得λ<.2答案：6．已知数列{an}的通项为an＝若{an}的最小值为，则实数a的取值范围是________．解析：由题可知当n≤5时结合函数y＝x＋(x>0)，可知an≥a4＝4＋＝，又∵{an}的最小值为，∴当n>5时，y＝alnn－≥，即alnn≥8，又∵lnn>ln5>0，∴当n>5时，a≥恒成立，∴a≥.答案：7．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.(1)求{an}的通项公式；(2)－是{an}中的第几项？解：(1)∵an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－，∴解得因此{an}的通项公式是an＝n－1.(2)令an＝－，即n－1＝－，所以n＝，解得n＝8.故－是{an}中的第8项．8．已知数列{an}的通项公式为an＝.(1)求证：0
3，所以0<<1，所以0<1－<1，即0
