（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题8立体几何与空间向量第50练平行的判定与性质练习理训练目标会应用定理、性质证明直线与平面平行、平面与平面平行．训练题型证明空间几何体中直线与平面平行、平面与平面平行．解题策略(1)熟练掌握平行的有关定理、性质；(2)善于用分析法、逆推法寻找解题突破口，总结辅助线、辅助面的做法.1.(2016·徐州模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，PD＝PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点．(1)求证：AM∥平面PBC；(2)求证：CD⊥PA.2．已知两正方形ABCD与ABEF内的点M，N分别在对角线AC，FB上，且AM∶MC＝FN∶NB，沿AB折起，使得∠DAF＝90°.(1)证明：折叠后MN∥平面CBE；(2)若AM∶MC＝2∶3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN∥平面CBE？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．3．(2016·辽宁五校协作体上学期期中)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝，AA1＝2.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(3)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E－BCD的体积．1答案精析1．证明(1)因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点，所以AB∥CM，且AB＝CM，又AB⊥BC，所以四边形ABCM是矩形，所以AM∥BC，2又因为BC⊂平面PBC，AM⊄平面PBC，故AM∥平面PBC.(2)连结PM，因为PD＝PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM，又因为四边形ABCM是矩形，所以CD⊥AM，因为PM⊂平面PAM，AM⊂平面PAM，PM∩MA＝M，所以CD⊥平面PAM.又因为PA⊂平面PAM，所以CD⊥PA.2.(1)证明如图，设直线AN与直线BE交于点H，连结CH，因为△ANF∽△HNB，所以＝.又＝，所以＝，所以MN∥CH.又MN⊄平面CBE，CH⊂平面CBE，所以MN∥平面CBE.(2)解存在，过M作MG⊥AB于点G，连结GN，则MG∥BC，因为MG⊄平面CBE，所以MG∥平面CBE，又MN∥平面CBE，MG∩MN＝M，所以平面MGN∥平面CBE.所以点G在线段AB上，且AG∶GB＝AM∶MC＝2∶3.3．(1)证明∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD.∵A1O∩AC＝O，A1O⊂平面A1AC，AC⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC.∵AA1⊂平面A1AC，∴AA1⊥BD.(2)证明∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD.∵A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，同理A1B∥D1C，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B1，且A1B∩A1D＝A1，CD1∩B1C＝C，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(3)解∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．在正方形ABCD中，AB＝，可得AC＝2.在Rt△A1OA中，AA1＝2，AO＝1，∴A1O＝，3∴V三棱柱ABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝×()2×＝.∴三棱柱ABD－A1B1D1的体积为.4．(1)证明如图，取BC的中点G，连结AG，EG.因为E，G分别是B1C，BC的中点，所以EG∥BB1且EG＝BB1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，而D是AA1的中点，所以AD∥BB1，且AD＝BB1.所以EG∥AD且EG＝AD，所以四边形EGAD是平行四边形，所以DE∥AG，又因为DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)解由AG⊥BC，B1B⊥AG，BC∩B1B＝B，得AG⊥平面BCE.因为AD∥BB1，AD⊄平面BCE，BB1⊂平面BCE，所以AD∥平面BCE，所以点D到平面BCE的距离就是点A到平面BCE的距离AG且AG＝4.又因为S△BCE＝BC·GE＝×6×3＝9，从而VE－BCD＝VD－BCE＝S△BCE·AG＝×9×4＝12.4
