技法强化训练(三)分类讨论思想(对应学生用书第161页)题组1由概念、法则、公式引起的分类讨论1．已知数列{an}的前n项和Sn＝Pn－1(P是常数)，则数列{an}是()【导学号：68334017】A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．以上都不对D[ Sn＝Pn－1，∴a1＝P－1，an＝Sn－Sn－1＝(P－1)Pn－1(n≥2)．当P≠1且P≠0时，{an}是等比数列；当P＝1时，{an}是等差数列；当P＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．]2．已知函数f(x)＝若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是()【导学号：68334018】A．(－∞，2)B．(－∞，4)C．[2,4]D．(2，＋∞)B[当－＜1，即a＜2时，显然满足条件；当a≥2时，由－1＋a＞2a－5得2≤a＜4，综上可知a＜4.]3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图1所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1的解集为()图1A．(－3，－2)∪(2,3)B．(－，)C．(2,3)D．(－∞，－)∪(，＋∞)A[由导函数图象知，当x＜0时，f′(x)＞0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数，当x＞0时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又不等式f(x2－6)＞1等价于f(x2－6)＞f(－2)或f(x2－6)＞f(3)，故－2＜x2－6≤0或0≤x2－6＜3，解得x∈(－3，－2)∪(2,3)．]4．已知实数m是2,8的等比中项，则曲线x2－＝1的离心率为()A.B.C.D.或D[由题意可知，m2＝2×8＝16，∴m＝±4.(1)当m＝4时，曲线为双曲线x2－＝1.此时离心率e＝.1(2)当m＝－4时，曲线为椭圆x2＋＝1.此时离心率e＝.]5．设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________.【导学号：68334019】(－1,0)∪(0，＋∞)[因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1>0；当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n∈N*)，则有①或②由①得－1
1.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]6．若x＞0且x≠1，则函数y＝lgx＋logx10的值域为________．(－∞，－2]∪[2，＋∞)[当x＞1时，y＝lgx＋≥2＝2，当且仅当lgx＝1，即x＝10时等号成立；当0＜x＜1时，y＝lgx＋＝－≤－2＝－2，当且仅当lgx＝，即x＝时等号成立．∴y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]题组2由参数变化引起的分类讨论7．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围为()A.B.C．(－∞，－1]D.C[因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－；②当C≠∅时，要使C⊆A，则解得－＜a≤－1.由①②得a≤－1.]8．已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为()【导学号：68334020】A．[－3,3]B.∪C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.C[满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示． y＝kx－3过定点(0，－3)，∴当y＝kx－3过点C(1,0)时，k＝3；当y＝kx－3过点B(－1,0)时，k＝－3.∴k≤－3或k≥3时，直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，故选C.]9．已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1，试讨论函数f(x)的单调性．[解]由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，1分f′(x)＝＋2ax＝.2分①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增.4分②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.6分③当－10；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.10分综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1
