2.1抛物线及其标准方程课后训练案巩固提升A组1.抛物线y2=4x的焦点坐标为()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析:(直接计算法)因为p=2,所以抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),应选B.答案:B2.抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为()A.y2=8xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=20x解析:由题意知,3+6a=5,∴a=,∴抛物线方程为y2=8x.答案:A3.抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴的距离是()A.B.C.1D.解析:由准线方程为y=-,可知M到准线的距离为1,∴点M到x轴的距离等于1-.答案:D4.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取得最小值,则点P的坐标是()A.B.(2,2)C.(1,)D.(0,0)解析:如图,作PH⊥y轴,交抛物线准线于H,则|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH|,∴当H,P,A三点共线时,|PA|+|PF|最小,此时,点P的纵坐标为2,故选B.答案:B5.抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是焦点,|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则()A.x1,x2,x3成等差数列B.x1,x3,x2成等差数列C.y1,y2,y3成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列解析:由定义,知|AF|=x1+,|BF|=x2+,|CF|=x3+. |AF|,|BF|,|CF|成等差数列,∴2,1即2x2=x1+x3.故选A.答案:A6.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x解析:由已知可得抛物线y2=ax的焦点F的坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y=2,令x=0得y=-,故点A的坐标为.由题意可得=4,∴a2=64,∴a=±8.答案:B7.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=.解析:设点A的坐标为(x,y).因为|AF|=2,所以x-(-1)=2,所以x=1.所以A(1,±2).又点F的坐标为(1,0),所以|BF|=|AF|=2.答案:28.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1).若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:OA的垂直平分线交x轴于点,此为抛物线的焦点,故准线方程为x=-.答案:x=-9.导学号90074066若点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,则点P的轨迹方程是.解析:(方法1)设点P的坐标为(x,y),由题意得+1=|x+2|,∴=|x+2|-1=x+1.两边平方得(x-1)2+y2=(x+1)2,∴x2-2x+1+y2=x2+2x+1,∴y2=4x,∴点P的轨迹方程为y2=4x.(方法2)由题意可知,点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,∴点P到点(1,0)与到x+1=0的距离相等.故点P的轨迹是以(1,0)为焦点,x+1=0为准线的抛物线,其方程为y2=4x.答案:y2=4x10.求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点在直线3x+4y-12=0上;(2)焦点是(-2,0);(3)准线是y=-;2(4)焦点到准线的距离是2;(5)焦点到直线x=-5的距离是8.解(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3),故抛物线有两种情况:焦点为(4,0)时,=4,∴p=8,∴方程为y2=16x;焦点为(0,3)时,=3,∴p=6,∴方程为x2=12y.故所求方程为y2=16x或x2=12y.(2)焦点为(-2,0),∴=2,∴p=4,∴方程为y2=-8x.(3)准线为y=-,∴,∴p=3,开口向上,∴方程为x2=6y.(4)由于p=2,开口方向不确定,故有四种情况.∴方程为y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y.(5)焦点在x轴上,设为(x0,0),∴|x0+5|=8,∴x0=3或x0=-13,∴焦点为(3,0)或(-13,0),∴=3或-13,∴p=6或-26.∴方程为y2=12x或y2=-52x.B组1.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值为()A.B.+1C.-1D.1解析:如图所示,设已知圆圆心为C,则|PQ|min=|PC|min-1.设P(x,y),则有|PC|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+x=x2-5x+9=,∴|PC|min=,即|PQ|min=-1.答案:C32.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹方程是.解析:由y=,得y2=x*a=(x+a)2-(x-a)2=4ax(y≥0).答案:y2=4ax(y≥0)3.已知点M(-2,4)及焦点为F的抛物线y=x2,在抛物线上求一点P,使得|PM|+|PF|的值最小,并求出最小值.解抛物线的方程可化为x2=8y,其焦点为F(0,2),准线为y=-2,将x=-2代入抛物线方程,得y=,因为点M的纵坐标4>,所以点M在抛物线的上侧,如图所示,设点P到准线的距离为d,则由抛物线的定义,得|PF|=d,所以|PM|+|PF|=|PM|+d,通过观察易得,当点P和点M的横坐标相同时,|PM|+d最小,此时点P的坐标为,最小值为4-(-2)=6.4.某河上有座抛物线形拱桥,当...
