5.3直线与平面的夹角课后训练案巩固提升1.下列有关角的说法正确的是()A.异面直线所成的角的范围是B.两平面的夹角可以是钝角C.斜线和平面所成角的范围是D.直线与平面的夹角的取值范围是解析:异面直线所成的角的范围是,A错;两平面的夹角的范围是,B错;斜线与平面所成角就是斜线与平面的夹角,规定斜线和平面所成角的范围是,C错;而直线与平面的夹角的取值范围是,D对.答案:D2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则=(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,所以有令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为θ,则sinθ=|cos
|=.答案:A3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C夹角的大小是()1A.B.C.D.解析:如图,取BC的中点E,连接DE,AE,AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C的夹角.设各棱长为1,则AE=,DE=,所以tan∠ADE=,所以∠ADE=,故选C.答案:C4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足()A.θ=B.cosθ=C.tanθ=D.sinθ=解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以G.又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),则cos<,n>==-,所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为.2答案:B5.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α夹角的余弦值为.解析:∵cos=,∴l与α夹角的余弦值为.答案:6.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD的夹角为,则平面FBE与平面DBE夹角的余弦值是.解析:因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.因为BE与平面ABCD的夹角为,即∠DBE=,所以.由AD=3可知DE=3,AF=,则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0).所以=(0,-3,),=(3,0,-2).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),3则令z=,则n=(4,2,).由题意知AC⊥平面BDE,所以为平面BDE的法向量,=(3,-3,0).所以cos=.故由题意知平面FBE与平面DBE夹角的余弦值为.答案:7.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(1)求证:SA⊥BC;(2)求直线SD与平面SAB夹角的正弦值.(提示:用向量法求解)(1)证明如图,作SO⊥BC,垂足为O,连接AO.由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,且AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,OB为y轴正向,OS为z轴正向,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(,0,0),B(0,,0),C(0,-,0),S(0,0,1),4所以=(,0,-1),=(0,2,0).所以=0.所以SA⊥BC.(2)解如上图,取AB的中点E.连接SE,取SE的中点G,连接OG,则.所以=0,=0,即OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直,所以OG⊥平面SAB.将的夹角记为α,SD与平面SAB的夹角记为β,则α与β互余.因为D(,-2,0),所以=(-,2,1),所以cosα=,所以sinβ=.所以直线SD与平面SAB夹角的正弦值为.8.导学号90074044如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与平面PAC所成角的余弦值;(3)若PA=4,求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值.解(1)因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(2)设BD∩AC=O,连接PO,由(1)可知∠BPO即为PB与平面PAC所成的角.因为PA=AB=2,所以PB=2.又∠BAD=60°,5所以OB=BD=1,所以cos∠BPO=,所以PB与平面PAC所成角的余弦值为.(3)以BD与AC的交点O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得,AO=OC=,OD=OB=1,所以P(0,-,4),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),=(0,2,-4),=(-1,,0),=(-1,-,0).设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),由可得令x1=,可得n1=.同理,由可得n2=,所以cos==-,所以平面PBC与平面PDC所成角的余弦值为.6
