2.1.1曲线与方程的概念[A基础达标]1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)()A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：选B．将M(2，1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上，故选B．2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()解析：选B．方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．3．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是()A．曲线C的方程是F(x，y)＝0B．方程F(x，y)＝0的曲线是CC．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上解析：选C．原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法C．4．曲线y＝|x|与y＝kx＋1的交点情况是()A．最多有两个交点B．有两个交点C．仅有一个交点D．没有交点解析：选A．数形结合知，有一个或两个交点，故选A．5．下列命题正确的是()A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线B．△ABC的顶点坐标分别为A(0，3)，B(－2，0)，C(2，0)，则中线AO的方程是x＝0C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0解析：选D．对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x1＝0(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有D是正确的．6．已知点A(a，2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的点，则m＝________．解析：根据点A在曲线y＝mx2上，也在直线x－y＝0上，则，所以.答案：7．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．解析：由得x2－2x＋2－m＝0，由题意知，Δ＝4－4(2－m)>0，所以m>1.答案：m>18．已知点(a1，b1)，(a2，b2)均在曲线x2＋y2＝1和曲线x2＋y2－4x－4y－1＝0上，则过点(a1，b1)、(a2，b2)的直线的方程是________．解析：依题意，据曲线与方程的定义可知，所求直线的方程即为过两曲线交点的直线的方程．将两曲线的方程相减得x＋y＝0，所以过点(a1，b1)、(a2，b2)的直线的方程为：x＋y＝0.答案：x＋y＝09．(1)方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？解：(1)由方程(x＋y－1)＝0可得或.即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，故方程表示直线x＝1或射线x＋y－1＝0(x≥1)．(2)方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，因为2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，所以，所以.所以方程表示的图形是坐标为(1，－1)的点．10．已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．(2)因为点M(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，所以x＝，y＝－m适合上述方程，即()2＋(－m－1)2＝10，解之得m＝2或m＝－，所以m的值为2或－.[B能力提升]11．已知0≤α<2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为()A．B．C．或D．或解析：选C．由(cosα－2)2＋sin2α＝3，得cosα＝.又0≤α<2π，所以α＝或.12．曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是________．解析：在y＝|x|－1中，令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝±1，所以曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积为×2×1＝1.答案：1213．判断下列结论的正误，并说明理由．(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；(2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2.解：(1)正确．理由如下：因为满足曲线方程的定义．所以结论正确．(2)错误．理由如下：因为到x轴距离为2的点的轨迹方程还有一个为y＝2，即不具备完备性．所以结论错误．14．(选做题)已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解：由x＝，得x2＋y2＝4.又x≥0，所以方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.3
