考点规范练39直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β,且m⊂αB.α⊥β,且m∥αC.m∥n,且n⊥βD.m⊥n,且α∥β答案C解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确.2.若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中是假命题的为()A.过点P且垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P且垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P且垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β答案B解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此也平行于平面β,因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α,不一定在平面α内,因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知,选项C,D正确.3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.4.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:1①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④答案B解析由题意知,BD⊥平面ADC,且AC⊂平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.√64B.√104C.√22D.√32答案A解析如右图所示,取A1C1中点D,连接AD,B1D,则可知B1D⊥平面ACC1A1,∴∠DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角,不妨设正三棱柱的棱长为2,∴在Rt△AB1D中,sin∠DAB1=B1DAB1=√32√2=√64,故选A.6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=BC,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知,B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF,所以要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.当CF⊥DF时,设AF=x,则A1F=3a-x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得ACA1F=AFA1D,即2a3a-x=xa,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.27.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(用序号表示).答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.8.(2018浙江嘉兴)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,AC=BC=4,PA=4√2,则二面角A-PB-C的平面角的正弦值为.答案√63解析如图,连接CO, AC=BC=4,PA=4√2,∴AB=4√2.∴AB⊥OC.过点O在平面PAB上作OM⊥PB于点M,连接CM,由三垂线定理可知CM⊥PB,∴∠OMC是二面角A-PB-C的平面角. CO=2√2,CM=2√3,∴在Rt△OMC中sin∠OMC=2√22√3=√63.能力提升组9.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题错误的是()A.若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥αB.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥βC.若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂αD.若a∥α,α⊥β,则a⊥β答案D解析若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则由直线与平面平行的判定定理得b∥α,故A正确;若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β,故B正确;若a⊥β,α⊥β,则由线3面垂直、面面垂直的性质得a∥α或a⊄α,故C正确;若a∥α,α⊥β,则a与β相交、平行或a⊂β,故D错误.故选D.10.已知a,b是两条互相垂直的异面直线,下列说法中不正确的是()A.存在平面α,使得a⊂α且b⊥αB.存在平面β,使得b⊂β且a∥βC.若点A,B分别在直线a,b上,且满足AB⊥b,则一定有AB⊥aD.过空间某...
