（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练15 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

圆锥曲线（15）圆锥曲线中的最值问题（1）利用基本不等式求最值，例1、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，求△PAB面积的最大值。解、设椭圆方程为，由题意可得，故椭圆方程为设AB的直线方程：.由，得，由，得P到AB的距离为，则。当且仅当取等号，∴三角形PAB面积的最大值为。（2）利用函数求最值，例2.如图，椭圆的焦点在x轴上，左右顶点分别为，上顶点为B，抛物线分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，与相交于直线上一点P.（1）求椭圆C及抛物线的方程；（2）若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点，求的最小值.解：（1）由题意，故抛物线C1的方程可设为，C2的方程为由得所以椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2：（2）由（1）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为设直线方程为由，整理得因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以解得设M（）、N（），则因为所以因为，所以当时，取得最小值其最小值等于例3、已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．解：(1)设，则切线的方程为，所以，，，所以，所以为等腰三角形且为中点，所以，，，得，抛物线方程为（2）设，则处的切线方程为由，同理，所以面积……①设的方程为，则由，得代入①得：，使面积最小，则，得到…………②令，由②得，，所以当时单调递减；当单调递增，所以当时，取到最小值为，此时，，所以，即。二、针对性练习1、已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点.将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.解：由题意知，.当时，切线的方程为，点A,B的坐标分别为，此时；当时，同理可得；当时，设切线的方程为.由得.设A,B两点的坐标分别为.又由与圆相切，得，即.所以.由于当时，，，当且当时，.所以|AB|的最大值为2.2.如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。解:设点的坐标为，点的坐标为，则，，所以，，①因为在圆上，所以②将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．（Ⅱ）由题意知，．当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为此时，当时，同理可得；当时，设切线的方程为由得③设A、B两点的坐标分别为，则由③得：．又由l与圆相切，得即所以因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，所以面积，当且仅当时，面积S的最大值为1，相应的的坐标为或者．3.已知焦点在轴上的椭圆C1：=1经过A(1，0)点，且离心率为．(I)求椭圆C1的方程；(Ⅱ)过抛物线C2：(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值．解：（Ⅰ）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）设，由，抛物线在点处的切线的斜率为,所以的方程为代入椭圆方程得,化简得又与椭圆有两个交点，故①设，中点横坐标为，则,设线段的中点横坐标为,由已知得即，②显然,③当时，，当且仅当时取得等号，此时不符合①式，故舍去；当时，，当且仅当时取得等号，此时，满足①式。综上，的最小值为1.