1.1.2余弦定理课时过关·能力提升1已知在△ABC中,a∶b∶c=1∶1∶√3,则cosC的值为()A.23B.-23C.12D.-12答案D2在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析由2cosBsinA=sinC,得a2+c2-b2ac·a=c,所以a=b.所以△ABC为等腰三角形.答案C3已知在△ABC中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC上的高是()A.3√22B.3√32C.32D.3√3解析由余弦定理,得cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=9+16-132×3×4=12.∴sinA=√32.∴S△ABC=12AB·AC·sinA=12×3×4×√32=3√3.设边AC上的高为h,则S△ABC=12AC·h=12×4×h=3√3.∴h=3√32.1答案B4已知在△ABC中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin∠BAC=()A.√1010B.√105C.3√1010D.√55解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理ACsin∠ABC=BCsin∠BAC,即√5√22=3sin∠BAC,所以sin∠BAC=3√1010.答案C5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是三角形.解析因为∠B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又∠B=60°,所以△ABC是等边三角形.答案等边6已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√2bc,则sinA=.答案137设△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=14,则sinB=.解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=1+4-2×1×2×14=4,解得c=2,即b=c,故sinB=sinC=√1-(14)2=√154.2答案√1548如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为.解析∵AD⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin∠BAC=2√23,∴sin(∠BAD+π2)=2√23,∴cos∠BAD=2√23.由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3.∴BD=√3.答案√39在△ABC中,已知∠B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.解在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD·DC=100+36-1962×10×6=-12,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.在△ABD中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理,得ABsin∠ADB=ADsinB,∴AB=AD·sin∠ADBsinB=10sin60°sin45°3=10×√32√22=5√6.10在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足c=2bcosA.(1)求证:∠A=∠B;(2)若△ABC的面积S=152,cosC=45,求c的值.(1)证明因为c=2bcosA,由正弦定理,得sinC=2sinB·cosA,所以sin(A+B)=2sinB·cosA,所以sin(A-B)=0.在△ABC中,因为0<∠A<π,0<∠B<π,所以-π<∠A-∠B<π,所以∠A=∠B.(2)解由(1)知a=b.因为cosC=45,又0<∠C<π,所以sinC=35.又因为△ABC的面积S=152,所以S=12absinC=152,可得a=b=5.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=10.所以c=√10.★11设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角∠A,∠B,∠C所对的边,并且sin2A=sin(π3+B)sin(π3-B)+sin2B.(1)求∠A的值;(2)若⃗AB·⃗AC=12,a=2√7,求b,c(其中bb知c=6,b=4.5
