椭圆及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.＋＝1B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)答案：D2．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：焦距为4，则m－2－(10－m)＝，所以m＝8.答案：D3．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是()A．x2＋y2＝3B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0)D．x2＋y2＝9(x≠0)解析：易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.答案：C4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C5．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到x轴的距离为()1A.B.C.D.解析：由MF1·MF2＝0，得MF1⊥MF2，可设|MF1|＝m，|MF2|＝n，在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，所以S△F1MF2＝·mn＝1，设点M到x轴的距离为h，则×|F1F2|×h＝1，又|F1F2|＝2，故h＝.答案：C二、填空题6．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是________．解析：由题意知a2－2＝4，所以a2＝6.所以所求椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝17．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为________．解析：由题意，得|PF1|＋|PF2|＝14，①|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝100，②由①②得|PF1|·|PF2|＝48，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24.答案：248．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________．解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以＝＝＝.答案：三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；2(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c＝2且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知2a＝＋＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.10．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹的方程．解：设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y.因为P在圆x2＋y2＝25上，所以x2＋＝25，整理得＋＝1，即点M的轨迹方程是＋＝1.B级能力提升1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()A．5B．4C．3D．1答案：B2．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m
