考点规范练41立体几何中的向量方法基础巩固组1.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是()A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)答案A解析逐一验证法,对于选项A,⃗MP=(1,4,1),∴⃗MP·n=6-12+6=0,∴⃗MP⊥n,∴点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.2.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有()A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=12EBD.E与B重合答案A解析分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方形的边长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),⃗D1F=(0,1,-2),⃗DE=(2,2,z), ⃗D1F·⃗DE=0×2+1×2-2z=0,∴z=1,∴B1E=EB.3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=√2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定答案B1解析分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图, A1M=AN=√23a,则Ma,23a,a3,N(2a3,2a3,a),∴⃗MN=(-a3,0,23a).又C1(0,0,0),D1(0,a,0),∴⃗C1D1=(0,a,0),∴⃗MN·⃗C1D1=0,∴⃗MN⊥⃗C1D1. ⃗C1D1是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BC⊥AC,∠A=π3,AC=4,AA1=4,M为AA1的中点,P为BM的中点,Q在线段CA1上,A1Q=3QC,则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为()A.√3913B.2√1313C.2√3913D.√1313答案C解析以C为原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,CC1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则由题意得A(0,4,0),C(0,0,0),B(4√3,0,0),M(0,4,2),A1(0,4,4),P(2√3,2,1),则⃗CQ=14⃗CA1=14(0,4,4)=(0,1,1),∴Q(0,1,1),⃗AC=(0,-4,0),⃗PQ=(-2√3,-1,0).设异面直线PQ与AC所成角为θ,cosθ=|cos<⃗AC,⃗PQ>|=|44√13|=1√13.∴sinθ=√1-(1√13)2=2√3913,选C.5.已知平面α,β的法向量分别为μ=(-2,3,-5),v=(3,-1,4),则()A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上都不正确答案C2解析 -23≠3-1≠-54,∴μ与v不是共线向量.又 μ·v=-2×3+3×(-1)+(-5)×4=-29≠0,∴μ与v不垂直.∴平面α与平面β相交但不垂直.6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小是,若D1E⊥EC,则AE=.答案90°1解析以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系, AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,∴D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0),设E(1,m,0),0≤m≤2,则⃗D1E=(1,m,-1),⃗A1D=(-1,0,-1),∴⃗D1E·⃗A1D=-1+0+1=0.∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°. ⃗D1E=(1,m,-1),⃗EC=(-1,2-m,0),D1E⊥EC,∴⃗D1E·⃗EC=-1+m(2-m)+0=0,解得m=1.∴AE=1.7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.答案13解析以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设n=(x,y,z)为平面A1BC1的法向量,则n·⃗A1B=0,n·⃗A1C1=0,即{2y-z=0,-x+2y=0,令z=2,则y=1,x=2,于是n=(2,1,2),⃗D1C1=(0,2,0).设所求线面角为α,则sinα=|cos|=13.8.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为.答案45°3解析如图,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,AD⊥平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD,又CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD.∴⃗AD=(0,1,0),⃗AE=(0,12,12)分别是平面PAB、平面PCD的法向量,且<⃗AD,⃗AE>=45°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.能力提升组9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面答案B解析以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(13,0,13),F(23,13,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),⃗A1D=(-1,0,-1),⃗AC=(-1,1,0),⃗EF=(13,13,-13),⃗BD1=(-1,-1,1),⃗EF=-13⃗BD1,⃗A1D·⃗EF=⃗AC·⃗EF=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.410.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=π2,AB=AC=AA1...
