第2课时导数的应用1．(2019·吉林长春二模)已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)0)，f′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k＝3，又切点(1,2)，所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y－1＝0
(2)f′(x)＝a＋＝(x>0)，①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a0，在区间上，f′(x)0；当x∈(x0，π)时，f′(x)n>0时，证明：men＋n0，得x>－；由f′(x)0，设h(x)＝(x－1)ex＋1，由(1)知h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，h(x)>h(0)＝0，于是g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当m>n>0时，(*)式成立，故当m>n>0时，men＋n1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)－＋2x＋>k(x－1)成立，求k的取值范围．解析：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，∴f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0得0k(x－1)．令g(x)＝lnx－＋x－－k(x－1)(x>1)，则g′(x)＝－x＋1－k＝，令h(x)＝－x2＋(1－k)x＋1，x>1，h(x)的对称轴为x＝，当≤1时，即k≥－1，易知h(x)在(1，x0)上单调递减，∴h(x)1时，即kh(1)＝1－k>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(1，x0)上单调递增．∴g(x)>g(1)＝0恒成立，符合题意．综上，k的取值范围是(－∞，1)．
