§9.3椭圆基础篇固本夯基【基础集训】考点一椭圆的定义及标准方程1.已知椭圆y2m+x22=1的一个焦点为(0,12),则m=()A.1B.2C.3D.94答案D2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4√3,则C的方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1答案A3.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆y24+x23=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为()A.5B.4C.3D.2答案A4.椭圆x29+y225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是.答案(-3,0)或(3,0)考点二椭圆的几何性质5.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是()A.13B.√33C.√34D.2√23答案D6.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.√36B.13C.12D.√33答案D7.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(b≥√32a>0),右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则x12+x22的取值范围是()1A.(0,32]B.(1,32]C.(1,34]D.(1,74]答案D考点三直线与椭圆的位置关系8.(2019河北衡水中学五调,6)与椭圆x22+y2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离心率为()A.√22B.√55C.12D.15答案B9.椭圆x225+y216=1的左,右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为()A.53B.103C.√103D.√53答案A10.已知P(1,1)为椭圆x24+y22=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则此弦所在直线的方程为.答案x+2y-3=011.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据题意知F1(-c,0),M(c,b2a).由kMN=34得b2a-0c-(-c)=34,即2b2=3ac,将b2=a2-c2代入得2(a2-c2)=3ac,2c2-2a2+3ac=0,2e2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍),故C的离心率为12.(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,设直线MF1与y轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a,①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.2设N(x1,y1),由题意知y1<0,则{2(-c-x1)=c,-2y1=2,即{x1=-32c,y1=-1.代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.②将①及c=√a2-b2代入②得9(a2-4a)4a2+14a=1.解得a=7,则b2=4a=28.故b=2√7.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.综合篇知能转换【综合集训】考法一与椭圆定义相关的问题1.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,√3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为()A.x28+y26=1B.x216+y26=1C.x24+y22=1D.x28+y24=1答案A2.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2√3,则△PF1F2的周长是()A.2(√2+√3)B.4+2√3C.√2+√3D.√2+2√3答案A3.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案D考法二椭圆离心率问题的求法4.(2019福建3月质检,9)设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为()A.√2-1B.√5-12C.√22D.√2+1答案A5.(2018河北衡水金卷二模,7)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个3焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是R2,5R2(如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为()A.25B.15C.23D.13答案A6.(2019河北武邑中学二模,12)设F,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,O为坐标原点,C是直线y=bax与...
