3-3-3函数的最大(小)值与导数综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－4C．5，－16D．5，－15解析 y′＝6x2－6x－12，∴令y′＝0得x＝－1(舍去)或x＝2.故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15.答案D2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为A．－37B．－29C．－5D．－11解析由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝f(－2)＝m－40＝3－40＝－37.答案A3．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值解析f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．答案A4．函数f(x)＝2＋，x∈(0，5]的最小值为A．2B．3C.D．2＋解析由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，且x∈(0，1)时，f′(x)<0；x∈(1，5]时，f′(x)>0，∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.答案B5．函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为A．0B.C.D.解析 y′＝1－2sinx，解y′＞0得sinx＜，故0≤x＜，解y′＜0得sinx＞，故＜x≤，∴原函数在上单调递增，在上单调递减，当x＝时函数取极大值，同时也为最大值．答案B6．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)0.故f(x)在[1，3]上为增函数，又f(1)＝，f(3)＝，∴函数f(x)的值域为.答案8．已知：f(x)＝x·ex，x∈[－2，2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．解析f′(x)＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝0得：x＝－1.f(－2)＝－2×e－2＝，f(－1)＝－1×e－1＝－，f(2)＝2·e2.所以M＝2·e2，m＝.∴M＋m＝2e2－.答案2e2－9．已知函数f(x)＝＋2lnx，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．解析函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.由f′(x)<0得00得x>，∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f()＝1＋2ln＝1＋lna． f(x)≥2恒成立，∴f(x)min≥2，即1＋lna≥2，∴a≥e.答案[e，＋∞)三、解答题(共35分)10．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，且f(x)的导函数f′(x)的图像关于直线x＝1对称．(1)求导函数f′(x)及实数a的值；(2)求函数y＝f(x)在[－1，2]上的最大值和最小值．解析(1)由f(x)＝x3＋ax2＋2得：f′(x)＝3x2＋2ax. f′(x)的图像关于直线x＝1对称，∴－＝1.∴a＝－3，f′(x)＝3x2－6x.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.当x在[－1，2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1，0)0(0，2)2f′(x)＋0－0f(x)－22－2由上表可知，当x＝－1或x＝2时，函数有最小值－2，当x＝0时，函数有最大值2.11．(10分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．2解析(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)＝－3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＜0，则－3(x＋1)(x－3)＜0，解得x＜－1或x＞3.∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)结合(1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.又x∈[－2，2]，∴x＝－1.当－2＜x＜－1时，f′(x)＜0；当－1＜x＜2时，f′(x)＞0.∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2，2]上的最小值，即f(x)min＝f(－1)＝a－5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2. a＋22＞a＋2，∴f(x)max＝a＋22＝20...
