高考数学总复习 第八章 解析几何 51 证明、最值、范围、存在性问题课时作业 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业51证明、最值、范围、存在性问题1．(2018·四川成都高中毕业班第一次诊断检测)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．(1)若直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；(2)过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．解析：(1)由题意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 直线l1的倾斜角为，∴k＝1.∴直线l1的方程为y＝x－1，即x＝y＋1.代入椭圆方程，可得9y2＋8y－16＝0.∴y1＋y2＝－，y1y2＝－.∴S△ABM＝·|FM|·|y1－y2|＝＝＝.(2)设直线l1的方程为y＝k(x－1)．代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝. 直线BN⊥l于点N，∴N(5，y2)．∴kAM＝，kMN＝.而y2(3－x1)－2(－y1)＝k(x2－1)(3－x1)＋2k(x1－1)＝－k[x1x2－3(x1＋x2)＋5]＝－k＝0，∴kAM＝kMN.故A，M，N三点共线．2．(2018·广东省五校高三第一次联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x＋y＋1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足OS＋OT＝tOP(其中O为坐标原点)，求实数t的取值范围．解析：(1)由题意知，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2，∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝a.(*) 椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c，a＝c，代入(*)式得b＝c＝1，∴a＝b＝，故所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，设P(x0，y0)，将直线l的方程代入椭圆方程得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，∴Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得k2<.设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－.由OS＋OT＝tOP，得tx0＝x1＋x2，ty0＝y1＋y2，当t＝0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足OS＋OT＝tOP，符合题意；当t≠0时，，∴x0＝·，y0＝·.将上式代入椭圆方程得＋＝1，整理得t2＝＝，由k2<知，0b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．由e＝＝及a2－c2＝b2＝1可得a＝2，∴a＝2，b＝1.(2)存在．由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)．代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)， 直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得xP＝，从而yp＝，∴点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)，∴AP＝(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．连接AP、AQ，依题意可知AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0， k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.经检验，k＝－符合题意，故直线l的方程为y＝－(x－1)．4．(2018·东北三省四市联考)已知椭圆E的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若椭圆右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是3.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为，求△BOC面积的最大值．解析：(1)由题意b＝1，右焦点(c,0)(c>0)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝3，∴c＝，又 a2－b2＝c2，∴a＝，又 椭圆E的交点在x轴上，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设B(x1，y1)，C(x1，y2)，则联立直线l与椭圆方程有得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.又|BC|＝＝，平方得|BC|2＝，①由O到直线l的距离为＝，得m2＝(k2＋1)，代入①式，得|BC|2＝＝3，当且仅当k2＝时，9k2＋≥6，|B...