高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 计时双基练49 求空间角和距离 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

计时双基练四十九求空间角和距离A组基础必做1．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1,1,0)B．(1，－1,0)C．(0，－1,1)D．(－1,0,1)解析对于选项A中的向量a1＝(－1,1,0)，cos〈a，a1〉＝＝＝－，a1与a的夹角为120°，不合题意；对于选项B中的向量a2＝(1，－1，0)，cos〈a，a2〉＝＝＝，a2与a的夹角为60°，符合题意；对于选项C中的向量a3＝(0，－1,1)，cos〈a，a3〉＝＝＝－，a3与a的夹角为120°，不合题意；对于选项D中的向量a4＝(－1,0,1)，cos〈a，a4〉＝＝＝－1，a4与a的夹角为180°，不合题意，故选项B正确。答案B2．已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A.B.C.D.解析 m⊥α，n⊥β，∴异面直线m，n所成的角的补角与二面角α－l－β互补。又 异面直线所成角的范围为，∴m，n所成的角为。答案B3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,1)，∴DN＝，MA1＝。∴DN·MA1＝1×0＋1×＋×1＝0，∴DN⊥MA1，∴A1M与DN所成的角的大小是90°。答案D4．(2016·宁波模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1夹角的正弦值等于()A.B.C.D.解析以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)，DC＝(0,1,0)，1设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，则y＝－2，x＝2，所以n＝(2，－2,1)，所以sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝＝。答案A5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由题意得，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又 CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD，又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面CDP。∴AD＝(0,1,0)和AE＝分别是平面ABP和平面CDP的法向量，而〈AD，AE〉＝45°，∴平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°。答案B6．在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为()A.B.aC.D.a解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－2xyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)。过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。 PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心。又 △ABC为正三角形，∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为。∴PH＝＝a。∴点P到平面ABC的距离为a。答案B7．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________。解析 cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝。∴两平面所成二面角的大小为或。答案或8．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝。若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________。解析连接AC，BD交于点O，连接OE。 cos〈DP，AE〉＝，∴cos∠AEO＝，tan∠AEO＝。又 OA＝，∴OE＝1，∴点E的坐标为(1,1,1)。答案(1,1,1)9．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________。解析取AC的中点E，连接BE，则BE⊥AC，如图，建立空间直角坐标系B－xyz，则A，D(0,0,1)，AD＝－，－，1。 平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，3∴BE⊥平面AA1C1C，∴BE＝为平面AA1C1C的一个法向量，∴cos〈AD，BE〉＝－。设AD与平面AA1C1C所成的角为α，∴sinα＝|cos〈AD，BE〉|＝。答案10．(2015·重庆卷)如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝。D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2。(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A－PD－C的余弦值。解(1)证明：因为PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE。又CE＝2，CD＝DE＝，得△CDE为等腰直角三角形，所以CD⊥DE。因为PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，所以DE...