1.5.3微积分基本定理知识梳理1.微积分基本定理用公式表示为=___________.其中f(x)=___________.由此可见计算定积分的badxxf)(的关键是找到满足___________的函数F(x).2.一般地，如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F′(x)=f(x),那么=____________,这个结论叫做微积分基本定理，又叫____________公式.3.当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的取值为____________；当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的取值为____________；当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为____________.知识导学学好本节内容，要求除了能够正确理解微积分基本原理，最重要的是能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反向上求出满足F′(x)=f(x)的函数F(x).疑难突破通过对微积分基本定理的学习，微分学中两个最基本.最重要的概念——导数与定积分，有怎样的联系？体现了什么样的辩证关系？剖析：科学思想发展的一个重要里程碑就是发现了微分与积分的关系，且这种关系非常简洁明了，互为逆过程，这就是微积分基本定理.它为我们计算定积分提供了非常简单的办法.同时，通过微积分基本定理的学习，体会事物之间相互转化、对立统一的辩证关系.问题探究问题：根据“若f(x)在［-a,a］上连续，且为偶函数，则有”这一正确结论，能否得到“若函数f(x)在［-a,a］上连续且为奇函数，则有=0”的结论成立?导思：根据定积分的几何意义及奇函数的定义求解.探究：对于f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称.不妨设f(x)≥0，这样如图1-5-5所示，曲边梯形ABCD的面积，显然等于曲边梯形OBCE面积的两倍.图1-5-5同理可证得“函数f(x)在［-a,a］上连续且为奇函数，有=0”，结论成立.典题精讲【例1】求定积分.思路解析：直接应用微积分基本定理及其运算性质解决此题.解：1=.绿色通道：牛顿—莱布尼茨公式揭示了导数和定积分的内在联系，从而把被积函数为连续函数的定积分计算问题化成了求被积函数的原函数问题，这就要求将导数的计算公式熟练把握，学会逆运算.变式训练：设f(x)=求.解：=.【例2】求定积分.思路分析：此处用定积分基本定理不能直接完成，需考虑用定积分的几何意义进行解决.解：设y=,则x2+y2=1(y≥0).∵表示由曲线y=在［0,1］上的一段与坐标轴所围成的面积,即在第一象限部分的圆的面积,∴.绿色通道：用定积分的几何意义求定积分，不仅简捷可分，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系，因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本节内容的关键.变式训练：求定积分.解：设y=,即(x-3)2+y2=25(y=0),∵表示在［-2，3］上的一段与坐标轴所围成的四分之一圆的面积，∴.【例3】设f(x)是以T为周期的周期函数，且f(x)在任意有限区间上连续.试证：对任意的a等式成立.思路分析：周期函数的特点，就是每隔一个周期而重复出现.如图1-5-6所示，是一个周期函数的图形，从图中的几何意义可知结论是成立的，那么如何从理论上给予证明呢？从图上看,2图1-5-6,.现在要证明：.设t=x+T,则f(x)=f(t),且x=0时，t=T.x=a时t=a+T.于是上式可得证.证明：由定积分的区间可加性质可得：..要证明,对于定积分变量替换t=x+T,则dx=dt.因而最后得到等式.绿色通道：本题既有形象直观的几何意义，又有严格的逻辑推理，从定积分的角度刻画了周期函数所具备的性质.变式训练：若f(x)在［-a,a］上连续且为偶函数，试证证明：已知f(x)为偶函数，因此f(-x)=f(x)..对于定积分,令x=-t,则dx=-dt.∵x∈［-a,0］,∴t∈［a,0］.∴=因此=2.3此题也可用几何意义来解释.图1-5-7如图1-5-7所示，因为f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，不妨设f(x)≥0,这样曲边梯形ABCD的面积显然等于曲边梯形OBCE面积的两倍.4
