解答题(七)17．已知{an}是递增数列，其前n项和为Sn，a1>1，且10Sn＝(2an＋1)(an＋2)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项an；(2)是否存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由．解(1)由10a1＝(2a1＋1)(a1＋2)，得2a－5a1＋2＝0，解得a1＝2或a1＝.又a1>1，所以a1＝2.因为10Sn＝(2an＋1)(an＋2)＝2a＋5an＋2，所以10an＋1＝10Sn＋1－10Sn＝2a＋5an＋1＋2－2a－5an－2，整理，得2(a－a)－5(an＋1＋an)＝0，即(an＋1＋an)[2(an＋1－an)－5]＝0.因为{an}是递增数列且a1＝2，所以an＋1＋an≠0，因此an＋1－an＝.所以数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列，所以an＝2＋(n－1)＝(5n－1)．(2)满足条件的正整数m，n，k不存在，理由如下：假设存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak，则5m－1＋5n－1＝(5k－1)，整理，得2m＋2n－k＝，(*)显然，(*)式左边为整数，所以(*)式不成立．故满足条件的正整数m，n，k不存在．18．(2019·东北三省三校一模)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，四面体P－BCG的体积为.(1)求点D到平面PBG的距离；(2)若点F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．解(1) VP－BCG＝S△BCG·PG＝·BG·GC·PG＝，∴PG＝4， PG⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG，∴S△PBG＝BG·PG＝×2×4＝4， AG＝GD，∴S△BDG＝·S△BCG＝×2＝，设点D到平面PBG的距离为h， VD－PBG＝VP－BDG，∴S△PBG·h＝S△BDG·PG，∴×4h＝××4，∴h＝.∴点D到平面PBG的距离为.(2)如图，在平面ABCD内，过D作DM⊥GC于点M，连接FM，又DF⊥GC,DM∩DF＝D，∴GC⊥平面FMD，FM⊂平面FMD，∴GC⊥FM， PG⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴PG⊥GC，∴FM∥PG，由GM⊥MD，得GM＝GDcos45°＝，则MC＝，∴＝＝＝3.19．(2019·广东东莞最后一卷)工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表．质量指标Y[9.4,9.8)[9.8,10.2)[10.2,10.6]频数82416一年内所需维护次数201(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数)；(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在[9.8,10.2)内的概率；(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？解(1)指标Y的平均值＝9.6×＋10×＋10.4×≈10.07.(2)由分层抽样知，先抽取的6件产品中，指标Y在[9.8,10.2)内的有3件，记为A1，A2，A3；指标Y在[10.2,10.6]内的有2件，记为B1，B2；指标Y在[9.4,9.8)内的有1件，记为C.从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)．其中，指标Y都在[9.8,10.2)内的基本事件有3个：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，所以2件产品的指标Y都在[9.8,10.2)内的概率为P＝＝.(3)不妨设每件产品的售价为x元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为η＝×(48x＋16×300＋8×600)＝(x＋200)元．假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48(x＋100)元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8×300＝2400元，平均每件产品的消费费用ξ＝×[48(x＋100)＋8×300]＝(x＋150)元．所以该服务值得消费者购买．20．(2019·湖南郴州第二次教学质量监测)已知抛物...
