第一章不等关系与基本不等式滚动训练一(§1～§3)一、选择题1．已知m，n∈R，则＞成立的一个充要条件是()A．m＞0＞nB．n＞m＞0C．m＜n＜0D．mn(m－n)＜0答案D解析若＞且mn＞0⇒n＞m⇒m－n＜0⇒mn(m－n)＜0；若＞且mn＜0⇒n＜m⇒m－n＞0⇒mn(m－n)＜0，∴＞⇒mn(m－n)＜0，同样mn(m－n)＜0⇒＞.2．已知a，b，c均为正数，且abc＝27，则a＋b＋c的最小值为()A．3B．6C．9D．27答案C解析a＋b＋c≥3＝3×3＝9，当且仅当a＝b＝c时“＝”成立．3．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}，若A⊆B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3D．|a－b|≥3答案D解析A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，B＝{x|x＞b＋2或x＜b－2}．又A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，∴a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.4．不等式|3x－2|＞4的解集是()A．{x|x＞2}B.C.D.答案C解析方法一由|3x－2|＞4，得3x－2＜－4或3x－2＞4.即x＜－或x＞2.所以原不等式的解集为{x|x＜－或x＞2}．方法二(数形结合法)画出函数y＝|3x－2|＝的图像，如图所示．1由|3x－2|＝4，解得x＝2或x＝－.在同一坐标系中画出直线y＝4，所以交点坐标为(2,4)与．所以当|3x－2|＞4时，x＜－或x＞2.所以原不等式的解集为.5．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，则不等式loga|x＋1|＞loga|x－3|的解集为()A．{x|x＜－1}B．{x|x＜1}C．{x|x＜1且x≠－1}D．{x|x＞1}答案C解析因为a＞0，且a≠1，所以函数f(x)＝2－ax为减函数．又因为y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，所以0＜a＜1，y＝logax为减函数，所以|x＋1|＜|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0.由|x＋1|＜|x－3|，得(x＋1)2＜(x－3)2，即x2＋2x＋1＜x2－6x＋9，解得x＜1.又x≠－1，且x≠3，所以解集为{x|x＜1且x≠－1}．6．下列不等式中恒成立的个数是()①x＋≥2(x≠0)；②＜(a＞b＞c＞0)；③|a＋b|＋|b－a|≥2a.A．0B．3C．2D．1答案C解析①不成立，当x＜0时不等式不成立；②成立，a＞b＞c＞0⇒＞，即＞，又c＞0，故＞；③成立，由绝对值不等式的性质可知，|a＋b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝|2a|≥2a，故选C.二、填空题7．若0＜x＜1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是________，此时x＝________.答案解析y＝x4(1－x2)＝x2·x2·(2－2x2)≤3＝，当且仅当x2＝2－2x2，即x＝时取“＝”号．8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为，则∅a的取值范围为________．答案(－∞，3]解析方法一由|x＋2|＋|x－1|＝|x＋2|＋|1－x|2≥|x＋2＋1－x|＝3知，当a≤3时，原不等式无解．方法二数轴上任一点到－2与1的距离之和的最小值为3.所以当a≤3时，原不等式的解集为∅.9．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为________．答案12解析2x＋4y＋8z≥3＝3＝3＝12，当且仅当2x＝4y＝8z，即x＝2y＝3z＝2时等号成立．10．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，则f(－2)＝______，若f(x)≤5，则x的取值范围是______．答案6[－1,1]解析f(－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6. |2x－1|＋x＋3≤5⇔|2x－1|≤2－x⇔x－2≤2x－1≤2－x⇔∴－1≤x≤1.11．不等式|－x|＜2的解集为________．答案解析原不等式⇔因为－x＜2⇔＜x＋2⇔⇔⇔x≥.又－x＞－2⇔或⇔或≤x＜2，⇔或≤x＜2⇔2≤x＜5或≤x＜2⇔≤x＜5.所以⇔≤x＜5.因此，原不等式的解集为.三、解答题12．设不等式|x－2|＜a(a∈N＋)的解集为A，且∈A，∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．解(1)因为∈A，且∉A，所以|－2|＜a，且|－2|≥a，解得＜a≤.又因为a∈N＋，所以a＝1.(2)因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号．所以f(x)的最小值为3.13．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；3(2)设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0，设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以当x≥a－2...
