高中数学 第二章 几个重要的不等式章末质量评估 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题VIP免费

第二章几个重要的不等式(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.已知a，b，c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是()A.(a＋b＋c)2≥3B.a2＋b2＋c2≥2C.＋＋≤2D.a＋b＋c≤解析用3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)易得.答案A2.若x>1，则函数y＝x＋＋的最小值为()A.16B.8C.4D.非上述情况解析y＝x＋＋，令t＝x＋>2(因x>1).∴y＝t＋≥2＝8.当且仅当t＝，即t＝4时取等号.答案B3.若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是()A.2B.C.D.解析(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3因此，＋＋≤.当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时取等号.答案C4.已知a，b，c∈(0，＋∞)，A＝a3＋b3＋c3，B＝a2b＋b2c＋c2a，则A与B的大小关系为()A.A≥BB.A≤BC.A＝BD.A与B的大小不确定解析取两组数：a，b，c与a2，b2，c2，显然a3＋b3＋c3是顺序和，a2b＋b2c＋c2a是乱序和，所以a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，即A≥B.答案A5.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是()A.1B.大于1且小于10的某个自然数C.10D.11答案C6.已知函数f(x)＝，记数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝f(1)，当n≥2时，Sn－＝(n2＋5n－2)，则通过计算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通项公式an等于()A.n＋1B.n－1C.n＋2D.n－2答案A7.设a，b，c，d为正数，a＋b＋c＋d＝1，则a2＋b2＋c2＋d2的最小值为()A.B.C.1D.解析由柯西不等式(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2，因为a＋b＋c＋d＝1，于是由上式得4(a2＋b2＋c2＋d2)≥1，于是a2＋b2＋c2＋d2≥，1当且仅当a＝b＝c＝d＝时取等号.答案B8.设a1，a2，a3为正数，m＝＋＋，n＝a1＋a2＋a3，则m与n的大小关系为()A.m≤nB.m≥nC.m>nD.m＝n解析不妨设a1≥a2≥a3>0，于是≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2＝a1＋a2＋a3.故选B.答案B9.用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋”时，由n＝k的假设证明n＝k＋1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为()A.＋…＋＋B.＋…＋＋＋C.＋…＋＋D.＋…＋＋答案D10.用数学归纳法证明命题“1＋＋＋…＋>(n∈N＋)”时，命题在n＝k＋1时的形式是()A.1＋＋＋…＋>B.1＋＋＋…＋＋>C.1＋＋＋…＋＋＋>D.1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>答案D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11.用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标是________.解析当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＞－.答案＋＋＋…＋＞－12.设x2＋2y2＝1则u(x，y)＝x＋2y的最小值是________；最大值是________.解析由柯西不等式，有|u(x，y)|＝|1·x＋·y|≤·＝得umin＝－，umax＝分别在，时取得.答案－13.已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值是________.解析 a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝3＋＋＋＋＋＋，∴＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，则＋＋≥9＋1＝10.答案1014.设实数a1，a2，a3满足条件a1＋a2＋a3＝2，则a1a2＋a2a3＋a3a1的最大值为________.解析由柯西不等式，(a＋a＋a)(12＋12＋12)≥(a1＋a2＋a3)2＝4，于是a＋a＋a≥.故a1a2＋a2a3＋a3a1＝[(a1＋a2＋a3)2－(a＋a＋a)]＝×22－(a＋a＋a)≤2－×＝.答案15.函数y＝cos2x(1＋sinx)的最大值为__________.2解析y＝(1－sin2x)(1＋sinx)＝(1－sinx)(1＋sinx)·(1＋sinx)＝4(1－sinx)··≤4＝4×＝等号成立⇔1－sinx＝⇔sinx＝.答案16.已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＝f(an－1)(n>1，n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为__________.答案an＝三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)17.利用柯西不等式解方程：2＋＝.解由柯西不等式(2＋)2＝(2＋·)2≤[22＋()2]＝6×＝6×＝15.等号成立⇔＝⇔＝⇔x＝－.经检验，x＝－为原方程的根.18.已知a，b，c为正数，求证：≥abc.证明根据所证明的不等式中a，b，c的“地位”的对称性，不妨设a≥b≥c，则≤≤，bc≤ca≤ab，由排序原理：顺序和≥乱序和，得＋＋≥＋＋，即≥a＋b＋c， a，b，c为正数，∴abc>0，a＋b＋c>0.于是≥abc.19.设a1，...