数学思想集训(一)函数与方程思想题组1运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn是其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8的值为________．64[由题意可知a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1
∴S8＝＝4×(1＋15)＝64
]2．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是________．[构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，因为关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，所以即所以－＜k≤0，所以k的取值范围是
]3．已知数列{an}满足a1＝60，an＋1－an＝2n(n∈N*)，则的最小值为________．【导学号：19592071】[由an＋1－an＝2n，得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋60＝n2－n＋60
∴＝＝n＋－1
令f(x)＝x＋－1，易知f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．又n∈N*，当n＝7时，＝7＋－1＝，当n＝8时，＝8＋－1＝
又＜，故的最小值为
]4．已知函数f(x)＝xlnx＋a，g(x)＝x2＋ax，其中a≥0
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)也相切，求a的值；(2)证明：x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立．[解](1)由f(x)＝xlnx＋a，得f(1)＝a，f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1
3分所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝x＋a－1
因为直线y＝x＋a－1与曲线y＝g(x)也相切，所以两方程联立消元得x2＋ax＝a＋x－1，即x2＋(a－1)
