初三数学二次函数（一）浙江版【本讲教育信息】一.教学内容：二次函数（一）二.知识回顾：1、二次函数的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是（）。当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。2、一般二次函数的三种表达式为：①一般式：（a≠0且a，b，c为常数）②顶点式：（a≠0，a，h，k为常数且顶点为（－h，k））③交点式：（a≠0，a，为常数且为抛物线与x轴相交时两交点的坐标）3、二次函数的表达式是描绘、分析和研究抛物线图像相关性质的基础，而确定二次函数解析式的方法是待定系数法。一般地，当已知抛物线上三个点的坐标时，可设所求的二次函数为一般式；当已知抛物线的顶点坐标（－h，k）时，可设为顶点式；当已知抛物线与x轴的两个交点（，0），（，0）时，可设其解析式为交点式。4、抛物线平移的实质是抛物线顶点的平移。【典型例题】例1、已知函数是关于x的二次函数，求该二次函数图像的①开口方向②对称轴方程③顶点坐标④画出函数的大致图像。解析： 已知函数为关于x的二次函数∴实数m的值应满足的条件是解之，得m=0，∴函数为① 函数中，，∴图像的开口向下。② a=－3，b=－6，∴由知：图像对称于直线x=－1③显然由②知，抛物线顶点的横坐标为x=－1，，∴顶点坐标为（－1，4）当然，当x=－1时，代入中，也可求得y=4，∴顶点为（－1，4）④在直角坐标系中，根据抛物线的顶点（－1，4），对称于直线x=－1，开口向下，且过y轴上的点（0，1），大致可画出该函数的图像（见下图）。例2、已知抛物线过原点，且开口向上，写出函数图像的顶点坐标及对称轴，并画出大致的图像。解析：应先确定函数的解析式， 图像开口向上且过原点∴实数m的值应满足，解之，得m=2∴抛物线为又 需求的是抛物线的顶点与对称轴方程∴不妨将此抛物线的解析式配方成顶点式，∴其顶点为（―1，―1），对称轴为直线x=－1∴在直角坐标系中可知图像与x轴相交于两点（－2，0）与（0，0）开口向上，大致图像如下图。例3、已知二次函数的图像经过点A（1，0）、B（2，0）、C（3，4），在直角坐标系中大致地作出该函数的图像。解（1）： A、B、C在二次函数的图像上∴可设其图像的表达式为∴当x=1时，y=0；当x=2时，y=0；当x=3时，y=4，解这个方程组，得∴所求的二次函数解析式为将配方，得∴抛物线的顶点为（），对称轴为直线，图像开口向上。注意到A、B恰为抛物线与x轴相交的两个交点，且抛物线与y轴相交于点（0，4），∴在直角坐标系中可大致作出图像如下图。解（2）： 抛物线过点A、B，且抛物线关于对称轴对称∴不妨设解析式为又抛物线经过点C（3，4），∴当x=3时，y=4，∴a=2，∴y=2（x－1）（x－2），余下同解（1）。解（3）： AB的中点为点（，0），∴抛物线对称于直线∴设解析式为又抛物线过点A、C，∴可求得a=2，，，余下同解（1）。例4、已知抛物线（1）先将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，求平移后的解析式。（2）若一条抛物线与抛物线关于x轴对称，求此抛物线的解析式。（3）若一条抛物线与抛物线关于y轴对称，求此抛物线的解析式。解：（1）抛物线的平移其形状，开口大小与开口方向均不变，∴a的值不变。但其顶点位置发生了改变（即顶点被平移了）。∴只需求出新的顶点坐标即可。，∴其顶点为（1，6）平移后的新顶点为（－1，7），∴平移后抛物线为，即（2） 关于x轴对称，∴其形状，开口大小不变，但开口方向相反，且顶点关于x轴对称，∴新抛物线的顶点为（1，－6），其解析式为，即。或： 只是开口反向，∴对于原抛物线上的任一点（x，y）均变成了（x，－y）∴由可知，新抛物线为，即（3）关于y轴对称的两条抛物线具有形状、大小以及开口方向均相同的特征，∴a的值不变。但两抛物线的顶点关于y轴对称，∴新抛物线的顶点为（－1，6）。∴其解析式为，即【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.已知是二次函数，且图像的开口向下，则m=_________。2.若抛物线过点A（－2，6）和B（2，6），则抛物线的对称轴是_________。3.已知抛物线对称于直线x=2，且过点（5，0）和（－2，14），则它与x轴相交的两交...
