初三数学直角三角形中成比例的线段例题解析一.本周教学内容：直角三角形中成比例的线段二.重点、难点：直角三角形中的比例线段定理在实际计算和证明题中有广泛的应用，是学习的重点，灵活应用射影定理等是学习的难点。三.知识回顾射影定理：直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项。如图：RtΔABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB于D，则AC2=AD•AB，BC2=BD•AB，CD2=DA•DBCBAD由射影定理可推出以下两个结论：1.直角边的平方比等于其射影比：AC2：BC2=AD•BD2.直角边之积等于斜边与斜高之积：AC：BC=AB•CD例1.如图，ΔABC中，∠BAC=Rt∠，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，求证：=分析：可利用角平分线的性质定理与射影定理来证明。ACDEBF证明：∵BF平分∠ABC∴=，=①又∠BAC=Rt∠，AD⊥BC∴AB=BD•BC即=②∴由①，②知：=例2.RtΔABC中，CD为斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，求证：CD3=AB·AE·BF分析：可用射影定理和三角形的面积公式来证明证明：∵CD⊥AB，DE⊥AC∴AD2=AE•AC，同理，BD2=BF•BC∴两式相乘，得AD•BD=AE•AC•BF•BC①又CD为斜边AB上的高∴CD2=AD•BD②由2SΔABC=AC•CB=AB•CD③∴将②、③代入①得CD4=AE•BF•AB•CD∴CD3=AB•AE•AFCEABDF例3.如图，ΔACB中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于D，F为DC延长线上一点，BG⊥AF于G。求证：CD2=DF•DE分析：可利用射影定理和相似三角形的对应边成比例来证明。证明：∵∠ACB=Rt∠，CD⊥AB∴CD=AD•DB又∠FAD=∠FEG=∠BED∠EDB=∠FDA=Rt∠∴ΔAFD∽ΔBDE∴=即AD•DB=DE•DF②∴由①，②知：CD2=DE•DFFCBDAGGE（答题时间：25分钟）1.ΔACB中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，AC=5，AD=4。则BC=_________，SΔACD:SΔBCD=______2.ΔACB中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，AE平分∠A，CE：EB=3：5，ΔABC的周长为60，则CD=，AD=，BD=。3.ΔACB中，∠C=90º，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，若BC=6cm，AC=8cm，则BF：AE=()A.1：3B.9：16C.27：64D.3：84.RtΔABC中，∠C=90º，M为AC的中点，MN⊥AB于N，求证：AC2=2AB•AN5.ΔABC中，∠A的平分线交BC于P，∠A的外角平分线与BC的延长线交于Q，M为PQ的中点，求证：①MA2=MB•MC②AB2：AC2=MB：MC6.∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，⑴求证：=⑵若AE=8，BF=1，求DE，DF和AB的长。[参考答案]1.，16：92.CD=12，AD=9，BD=163.C4.提示：过C作CD⊥AB于D，显然有AD=2AN，又AC=AB•AD，∴AC2=2AB•AN5.⑴提示：由已知易得∠APM=∠PAM，∴∠ABM=∠MAC，∴ΔAMC∽ΔBMA，∴MA2=MB•MC⑵提示：∵==∴()2=即=6.⑴提示：由已知得BC4=BD2•AB2，AC4=AD2•AB2∴==∴命题得证⑵DE=4，DF=2，AB=5提示：设DE=x，DE=y，则由ΔAED∽ΔCFD，知=，∴X2=8y①又ΔADE∽ΔABC∴=，∴XY=8②由①②解得X=4，Y=2∵RtΔADE中，由勾股定理解得AD=4，同理DB=∴可解得AB=5
