初三数学直角三角形中成比例的线段例题解析一.本周教学内容:直角三角形中成比例的线段二.重点、难点:直角三角形中的比例线段定理在实际计算和证明题中有广泛的应用,是学习的重点,灵活应用射影定理等是学习的难点。三.知识回顾射影定理:直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项,一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项。如图:RtΔABC中,∠ACB=90º,CD⊥AB于D,则AC2=AD•AB,BC2=BD•AB,CD2=DA•DBCBAD由射影定理可推出以下两个结论:1.直角边的平方比等于其射影比:AC2:BC2=AD•BD2.直角边之积等于斜边与斜高之积:AC:BC=AB•CD例1.如图,ΔABC中,∠BAC=Rt∠,AD⊥BC于D,BF平分∠ABC,交AD于E,求证:=分析:可利用角平分线的性质定理与射影定理来证明。ACDEBF证明:∵BF平分∠ABC∴=,=①又∠BAC=Rt∠,AD⊥BC∴AB=BD•BC即=②∴由①,②知:=例2.RtΔABC中,CD为斜边上的高,DE⊥AC,DF⊥BC,求证:CD3=AB·AE·BF分析:可用射影定理和三角形的面积公式来证明证明:∵CD⊥AB,DE⊥AC∴AD2=AE•AC,同理,BD2=BF•BC∴两式相乘,得AD•BD=AE•AC•BF•BC①又CD为斜边AB上的高∴CD2=AD•BD②由2SΔABC=AC•CB=AB•CD③∴将②、③代入①得CD4=AE•BF•AB•CD∴CD3=AB•AE•AFCEABDF例3.如图,ΔACB中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D,F为DC延长线上一点,BG⊥AF于G。求证:CD2=DF•DE分析:可利用射影定理和相似三角形的对应边成比例来证明。证明:∵∠ACB=Rt∠,CD⊥AB∴CD=AD•DB又∠FAD=∠FEG=∠BED∠EDB=∠FDA=Rt∠∴ΔAFD∽ΔBDE∴=即AD•DB=DE•DF②∴由①,②知:CD2=DE•DFFCBDAGGE(答题时间:25分钟)1.ΔACB中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,AC=5,AD=4。则BC=_________,SΔACD:SΔBCD=______2.ΔACB中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,AE平分∠A,CE:EB=3:5,ΔABC的周长为60,则CD=,AD=,BD=。3.ΔACB中,∠C=90º,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,若BC=6cm,AC=8cm,则BF:AE=()A.1:3B.9:16C.27:64D.3:84.RtΔABC中,∠C=90º,M为AC的中点,MN⊥AB于N,求证:AC2=2AB•AN5.ΔABC中,∠A的平分线交BC于P,∠A的外角平分线与BC的延长线交于Q,M为PQ的中点,求证:①MA2=MB•MC②AB2:AC2=MB:MC6.∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,⑴求证:=⑵若AE=8,BF=1,求DE,DF和AB的长。[参考答案]1.,16:92.CD=12,AD=9,BD=163.C4.提示:过C作CD⊥AB于D,显然有AD=2AN,又AC=AB•AD,∴AC2=2AB•AN5.⑴提示:由已知易得∠APM=∠PAM,∴∠ABM=∠MAC,∴ΔAMC∽ΔBMA,∴MA2=MB•MC⑵提示:∵==∴()2=即=6.⑴提示:由已知得BC4=BD2•AB2,AC4=AD2•AB2∴==∴命题得证⑵DE=4,DF=2,AB=5提示:设DE=x,DE=y,则由ΔAED∽ΔCFD,知=,∴X2=8y①又ΔADE∽ΔABC∴=,∴XY=8②由①②解得X=4,Y=2∵RtΔADE中,由勾股定理解得AD=4,同理DB=∴可解得AB=5