建立适当的坐标系解决实际问题一、建立坐标系解决实际问题的一般步骤1.恰当地建立直角坐标系；2.将已知条件转化为点的坐标；3.合理地设出所求函数关系式；4.代入已知条件或点的坐标，求出关系式；5.利用关系式求解问题。方法归纳：（1）恰当地建立直角坐标系是准确、简捷地求解问题的关键；（2）将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标的关系；（3）设函数关系式应根据题设合理选择三种函数式中的一种；（4）求解问题应能将点的坐标正确地转化为距离或高度。总结：1.能分析实际问题中数量关系，建立二次函数模型。2.能够建立坐标系，确定二次函数关系式，并解决实际问题。例题1如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB之间按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（）ABCEFOA.0.4米B.0.16米C.0.2米D.0.24米解析：由于按相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB＝0.2×6＝1.2，以C为坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过B（0.6，0.36）、C（0，0）、A（－0.6，0.36），据此求出其解析式。把x＝－0.4代入后求出y，令EF=0.36－y即可。答案：如图，以C为坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，设抛物线解析式为y＝ax2，由题意知，图象过B（0.6，0.36），代入得：0.36＝0.36a，∴a＝1，即y＝x2。 F点横坐标为－0.4，∴当x＝－0.4时，y＝0.16，∴EF＝0.36－0.16＝0.2米。故选C。2ABCEFOxy点拨：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题。主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，建立恰当的坐标系是解题关键。例题2一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图所示，已知球出手时离地面209m，与篮筐中心的水平距离是7m，当球运行的水平距离是4m时，达到最大高度4m，设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m。209m3m3m4m4mABC求：（1）问此球能否投中？（2）此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m，他如何做才可能盖帽成功？解析：（1）先建立恰当的平面直角坐标系，求出篮球运行的抛物线的关系式，再利用函数关系式计算一下球运行至篮筐正上方时，高度是否为3m，是，则投中，否，则不中。（2）由篮球比赛规则可知，对方球员乙盖帽必须在球上升的过程中封盖，也就是在AB之间当球的飞行高度不超过3.19m时可能封盖成功，这里涉及球员乙的起跳位置问题。答案：（1）以地面为x轴，起跳点为原点建立如图所示的平面直角坐标系。3ABCOxy由题意知，抛物线顶点坐标为（4，4），经过（0，209）。设抛物线的关系式为y＝a（x－4）2＋4，把x＝0，y＝209代入，得209＝a（0－4）2＋4，∴a＝－19。∴y＝－19（x－4）2＋4，即y＝－19x2＋89x＋209。当x＝7时，y＝－19（7－4）2＋4＝3，而篮筐中心距地面刚好是3m，∴此球能够投中。（2）当y＝3.19时，－19（x－4）2＋4＝3.19，解得x1＝1.3，x2＝6.7。由于篮球比赛规则规定盖帽必须在球上升过程中，当x＝1.3时上升，当x＝6.7时下降。所以，球员乙必须在球员甲前1.3m之内跳起封盖才可能成功。点拨：本例通过建立平面直角坐标系求出二次函数的关系式，再利用二次函数的有关性质来解决实际问题，将实际问题转化为数学模型是关键，而利用数学知识去解决实际问题时还要注意符合实际意义。有些实际问题中并没有明确给出它符合哪一种函数，这时应根据题目提供的数据画出图象，根据图象判断函数的种类。若所给数据符合二次函数特征，可选取三组数据（即三点）求出二次函数的关系，但必须将其他点代入验证，这一步不可少，只有验证无误后方可认定是二次函数，以防错误判断。例行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距4离称为“刹车距离”。为了测定某型号汽车的刹车性能（车速不能超过140km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下：刹车时车速（km/h）0102030405060刹车距离（m）00.31.02.13.65.57.8（1）以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线联结这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计函数的类型；（3）如果该函数解析式为y＝0.002x2＋0.01x，...
