山东省烟台市2020届高三数学4月模拟考试（一模）试题（扫描版）2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5.B6.D7.A8.C二、多项选择题9.BC10.AC11.BC12.ABD三、填空题13.14.15.16.，四、解答题17．解：（1）因为，由正弦定理得所以,…………………………1分即，…………………………2分又，所以所以，…………………………3分而，所以，所以.…………………………4分（2）因为…………………………5分将，，代入，得.…………………………6分由余弦定理得，于是，…………………………8分即，解得或.…………………………10分18．解：设等比数列的公比为（），则，，于是，…………………………2分即，解得，（舍去）.…………………………4分若选①：则，，解得，…………………………6分所以，…………………………8分，…………………………9分于是……10分令，解得，因为为正整数，所以的最小值为.……12分若选②：则，，解得.下同①.若选③：则，，解得.………………6分于是，…………………8分，……………………9分于是，………………………………………10分令，得，注意到为正整数，解得，所以的最小值为.………………………12分19．解：（1）证明：延长交于点,点为的中点，因为分别是棱的中点,所以是的中位线，所以，…………………………2分又，，所以.同理可证.………………………………………3分又，，所以平面，……………………………………4分因为，所以.………………………………5分（2）连接，因为，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.以为坐标原点，以向量所在的方向分别作为轴、轴的正方向，以与向量垂直的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.………6分设，则，，，，，，.……………………7分GDzyxEFPCBA设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，于是取…………………………9分又平面的一个法向量为，则，即，令，得，，于是取………………………………………………11分设平面与平面的所成的角二面角的大小为，则.所以平面与平面的所成的锐二面角的余弦值为.………………12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于分的比率为，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于分的概率为.…………………2分（2）由题意得列联表如下：…………3分不太了解比较了解男性250330女性150270的观测值…………………5分因为5.542所以有的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.………………6分（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性人，女性人.………………7分随机变量的所有可能取值为，其中，,,,………………9分所以随机变量的分布列为………………10分,可得，，，，解得.…………………………………………12分012321．解：（1）由可得，，令，则，………………1分当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得最大值，………………3分要使，只需，故的取值范围为，………………4分显然，当时，有，即不等式在上成立，令，则有，所以，即：；………………6分（2）由可得，，即，令，则，………………8分当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得最大值，………………10分又当时，，当时，，………………11分所以，当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个不同的实数解；当时，方程没有实数解.………………12分22．解：（1）将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，所以椭圆的方程为．……3分（2）设.因为以为直径的圆恒过点，所以，即.……………………4分因为点在椭圆上，所以.（i）将代入椭圆，得，，于是,.…………5分因为当且仅当，即时，取等号.所以的取值范围为.……………………………………7分（ii）存在.定圆的方程为.假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值.因为，所以直线方程为，整理可得，………………………………8分所以到直线的距离，…………………………9分由（i）知，，得，，，注意到，知.所以，…………………10分又，……………………11分所以，因此，直线与圆恒相切.…………………………………………12分
