第一部分数学Ⅰ必做题部分专题Ⅰ-13课时达标自测VIP免费

1．(2013·北京高考)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是________．解析：依题意，e＝，e2＝>2，得1＋m>2，所以m>1.答案：m>12．(2013·徐州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程为________．解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a＝1，由双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，可得b＝，故所求的双曲线方程为x2－＝1.答案：x2－＝13．(2013·无锡一模)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.解析：抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，又tan60°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.答案：44．(2013·南通模拟)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若||是||和||的等比中项，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意可知||2＝||·||，即2＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，化简可得a2＝b2，则e＝＝＝＝.答案：5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为________．解析：由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得，＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8.答案：y2＝4x或y2＝16x6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，1则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，解得a＝4.又离心率e＝＝，故c＝2.所以b2＝a2－c2＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝17．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其准线的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为________．解析：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－，1＋＝5，解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.又M(1，m)(m>0)在抛物线上，故m＝4，即点M的坐标为(1,4)，易知双曲线－y2＝1的左顶点为A(－，0)，渐近线方程为y＝±，直线AM的斜率为，由题意可知＝，解得a＝.答案：8．(2013·江苏十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设|AM|＝e|AB|，则该椭圆的离心率e＝________.解析：因为点A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是，(0，a)．设点M的坐标是(x0，y0)，由|AM|＝e|AB|，得(*)因为点M在椭圆上，所以＋＝1，将(*)式代入，得＋＝1，整理得，e2＋e－1＝0，解得e＝，或e＝(舍去)．答案：9．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是________．解析：依题意知x≥0，焦点F(1,0)，则|PF|＝x＋1，|PA|＝＝.当x＝0时，＝1；当x>0时，1<＝≤＝(当且仅当x＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤≤，≤≤1，的最小值是.答案：10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，解得b＝4.又e＝＝，得＝，即1－＝，则a＝5.所以C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3.设AB的中点坐标为(x，y)，则x＝＝，y＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为.11.已知双曲线x2－＝1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)．(1)求椭圆方程；2(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x...