2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷A）数学（理科）解析与答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合则个数为（A）3（B）4（C）5（D）6[答案]．B[解析]1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．（2）（A）8（B）（C）（D）[答案]．A[解析](1＋i)3＝13＋3×12(i)＋3×1×(i)2＋(i)3＝1＋3i－9－3i＝－8.（3）已知向量（A）（B）（C）（D）[答案]．B[解析](＋)⊥(－)⇔(＋)·(－)＝0⇔2＝2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.（4）已知函数（A）（B）（C）（D）[答案]．B[解析]对于f(2x＋1)，－1<2x＋1<0，解得－10，且1＋＝2y，解得x＝，交换x，y得f－1(x)＝(x>0)．（6）已知数列满足（A）（B）（C）（D）[答案]．C[解析]由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且＝－，所以数列{an}是公比为－的等比数12013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3×＝3(1－3－10)．（7）（A）（B）（C）（D）[答案]．D[解析](1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168.（8）椭圆斜率的取值范围是（A）（B）（C）（D）[答案]．B[解析]椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2＝·＝，而＋＝1，即y＝(4－x)，所以kPA1kPA2＝－，所以kPA1＝－∈.（9）若函数（A）（B）（C）（D）[答案]．D[解析]f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立，由于y＝－2x在上单调递减，所以y<3，故只要a≥3.（10）已知正四棱锥的正弦值等于（A）（B）（C）（D）[答案]．A[解析]如图，联结AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝，OC1＝＝3，所以CE＝＝＝，所以sin∠CDE＝＝.（11）已知抛物线22013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案（A）（B）（C）（D）[答案]．D[解析]抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.MA·MB＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2.（12）已知函数（A）（B）（C）（D）[答案]．C[解析]因为对任意x，f(π－x)＋f(π＋x)＝cosxsin2x－cosxsin2x＝0，故函数f(x)图像关于点(π，0)中心对称；因为对任意x恒有f(π－x)＝cosxsin2x＝f(x)，故函数f(x)图像关于直线x＝对称；f(－x)＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，故f(x)既是奇函数也是周期函数；对选项C中，f(x)＝2cos2xsinx＝2(1－sin2x)sinx，令t＝sinx∈[－1，1]，设y＝(1－t2)t＝－t3＋t，y′＝－3t2＋1，可得函数y的极大值点为t＝，所以y在上的极大值为－＋＝，函数的端点值为0，故函数y在区间的最大值为，函数f(x)的最大值为，所以选项C中的结论错误．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知.[答案]．2[解析]cosα＝－＝－，所以cotα＝＝2.（14）个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）[答案]．480[解析]先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA＝24×20＝480种．（15）记不等式组所表示的平面区域为若直线.[答案].[解析]已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC及其内部，直线y＝a(x＋1)是过点(－1，0)斜率为a的直线，该直线与区域D有公共点时，a的最小...
