吉林省长春市2019届高三数学第四次模拟考试试题理（扫描版）长春市2019年高三质量监测（四）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A2.B3.C4.B5.A6.C7.B8.B9.A10.A11.D12.A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13.14.15.16.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列与数学归纳法的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可知，.（3分）可猜得.（6分）（Ⅱ）当时，成立，（8分）假设当时，成立，（10分）当时，成立综上，.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何的相关知识.【试题解析】（Ⅰ）由题意得，故四边形为平行四边形，所以，由平面，平面，故平面，（2分）由题意可知，为中点，，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，（4分）又由于相交，所以平面平面（6分）（II）由题意，以为坐标原点，分别以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，点，设平面的一个法向量为，有，令，则，（8分），（10分）令为直线与平面所成的角，则（12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的相关知识.【试题解析】（Ⅰ）依题意，是线段中点，因为，故，（2分）代入椭圆的方程，可得（4分）（Ⅱ）设，则，又，（6分）又，所以，，，（8分），消去，可得，（10分）故（12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ），（2分）可知在上单调递减，在单调递增，所以.（4分）（Ⅱ）对任意设，（6分）由（Ⅰ）知单调递增，.（7分）①当时，，，所以单调递增，则，即.（9分）②当时，，可知存在使得，单调递减，，所以存在，，故不成立.（11分）综上所述，.（12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查概率与统计的相关知识.【试题解析】（Ⅰ）（千元）（4分）（Ⅱ）由题意，（6分）（i），所以时满足题意，即最低年收入大约为千元（8分）（ii）由得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，则，（9分）于是恰好有个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是，（10分）从而由（11分）所以当时，当时，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数大约为978.（12分）22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）的直角坐标方程为①，的直角坐标方程为②，将①②联立，可求得，由题意：，求得.（5分）（Ⅱ）当时，曲线为直线，解方程组，得，，于是可求得.（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）（5分）（Ⅱ）而，所以（10分）
