第7讲、角的平分线考点讲解:1.角的平分线定义:在角的内部,从角的顶点引出的一条射线,把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做角的平分线。2.角的平分线作图:如图(1),射线OC就是∠AOB的角平分线。PNMCBOAPNMCBOA图(1)图(2)3.角的平分线定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等。如图(2),∵∠AOC=∠BOC,PM⊥OA,PN⊥OB,∴PM=PN。4.角平分线定理的逆定理:在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。如图(2),∵PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN,∴∠AOC=∠BOC。5.三角形的三条角平分线的性质:如图,三角形的三条角平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。(三角形的内心)【典型例题】例1.如图(1),∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB交OA于点C,PM⊥OB于点M。求证:PC=2PMCMPBAON图(1)图(2)例2.如图(3),PA=PB,∠A+∠B=180°。求证:点P在∠AOB的角平分线上。BAPONMBAPO图(3)图(4)例3.如图(5)△ABC的外角∠CBM和∠BCN的角平分线相交于点P。求证:点P在∠MAN的角平分线上。NMPCBANMFEDABCP图(5)图(6)例4.如图(7),在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,将△ACD沿AD折叠,点C落在斜边AB上点E处,求DE的长。EDBCA图(7)【模拟试题】一、选择题1.如图,点P在∠AOD的角平分线上,PC⊥OA,PB⊥OD,则图中的全等三角形共有多少对()。A、2B、3C、4D、52.到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的()A、三条中线的交点B、三条高的交点C、三条角平分线的交点D、三条边的垂直平分线的交点3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DC=5cm,则点D到线段AB的距离为()A、5cmB、4cmC、3cmD、2cm4.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,AD=2cm,则DC的长为()DCBAA、2cmB、4cmC、2cmD、22cm二、填空题5.三角形的三条角平分线,并且。6.如图,△ABC中,BD是角平分线,DE⊥AB,AB=18cm,BC=12cm,2ABCcm36S,则线段DE=。7.如图,点P是△ABC的内角ABC和外角ACD的角平分线的交点,点P到边AC的距离为4cm,则点P到边AB的距离是。三、解答题8.如图,点P在∠AOB的角平分线上。PA=PB,求证:∠A+∠PBO=180°。DBAOP9.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,沿经过点B的一条直线折叠△ABC,使点C恰好落在斜边AB的中点E处,求∠A的度数。EDCBA10.如图,要在三条公路AB、AC、BC之间修建一个加油站,要求加油站到三条公路的距离相等,加油站应建在什么位置?CBA