高考数学理专题突破课件第一部分专题四第三讲：空间向量与立体几何VIP免费

专题四立体几何第一部分专题突破方略第三讲空间向量与立体几何主干知识整合1．空间角的类型与范围(1)异面直线所成的角(θ)：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角(θ)：0≤θ≤π2；(3)二面角(θ)：0≤θ≤π.2．几何法求空间角与距离的步骤一作、二证、三计算．3．向量法求空间角与距离的方法(1)求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.(2)求空间距离：直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离．点P到平面α的距离：d＝|PM→·n||n|(其中n为α的法向量，M为α内任一点)．高考热点讲练向量法证明垂直与平行例例11如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.【证明】(1)以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.如图，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，∴A1C1→＝(－1,1,0)，AC→＝(－2,2,0)，D1B1→＝(1,1,0)，DB→＝(2,2,0)，∴AC→＝2A1C1→，DB→＝2D1B1→，∴AC→与A1C1→平行，DB→与D1B1→平行，即A1C1与AC共面，B1D1与BD共面．(2) DD1→·AC→＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0，DB→·AC→＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0，∴DD1→⊥AC→，DB→⊥AC→，即DD1⊥AC，DB⊥AC.又DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1.又AC⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.【归纳拓展】用向量法证明平行、垂直问题的步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．变式训练1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点．(1)求证：D1F⊥平面ADE；(2)设正方形ADD1A1的中心为M，B1C1的中点为N，求证：MN∥平面ADE.证明：(1)如图，不妨设正方体的棱长为1，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D—xyz，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F0，12，0，E1，1，12，AD→＝(－1,0,0)，D1F→＝0，12，－1，AD→·D1F→＝(－1,0,0)·0，12，－1＝0.∴AD⊥D1F.又AE→＝0，1，12，D1F→＝0，12，－1，∴AE→·D1F→＝0，1，12·0，12，－1＝12－12＝0.∴AE⊥D1F.又AE∩AD＝A，D1F⊄平面ADE，∴D1F⊥平面ADE.(2) M12，0，12，N12，1，1，∴MN→＝0，1，12.由(1)知，D1F→＝0，12，－1是平面ADE的法向量．又 MN→·D1F→＝0＋12－12＝0，∴MN⊥D1F. MN⊄平面ADE，∴MN∥平面ADE.(2011年高考四川卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1∥平面BDA1；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值．向量法求线线角和线面角例例22【解】如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1()0，0，0，B1()1，0，0，C1()0，1，0，B()1，0，1，P(0,2,0)．(1)证明：在△PAA1中有C1D＝12A1A，即D(0,1，12)．∴A1B→＝()1，0，1，A1D→＝0，1，12，B1P→＝()－1，2，0.设平面BA1D的一个法向量为n1＝()a，b，c，则n1·A1B→＝a＋c＝0，n1·A1D→＝b＋12c＝0，令c＝－1，则n1＝1，12，－1. n1·B1P→＝1×()－1＋12×2＋()－1×0＝0，∴PB1∥平面BDA1.(2)由()1知，平面BDA1的一个法向量n1＝1，12，－1.又n2＝()1，0，0为平面AA1D的一个法向量，∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝11×32＝23.故二面角AA1DB的平面角的余弦值为23.(2011年高考北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是...