初三数学圆的综合知识应用一一.本周教学内容：圆的综合知识应用（一）二、重、难点：综合运用与圆有关的知识解决数学应用问题是学习的重点，也是学习中的难点。三、知识回顾1、复习圆的基本概念和性质定理例如：圆的确定，轴对称和旋转不变性质，垂径定理，四组量之间的关系定理，圆周角定理，圆中平行弦夹相等弧定理等2、复习圆与点，圆与直线，圆与圆的位置关系以及相关的定理例如：圆与点的位置关系，圆与直线的位置关系，圆的切线以及圆与圆的位置关系，弦切角定理等3、复习与圆有关的比例线段方面的定理例如：相交弦定理、切割线定理、射影定理等例1.ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，EB⊥AD，AD与BC的延长线相交于F，求证：解析：显然，用垂径定理可得BD＝BA，∴只需证明即可即证明ΔBCD∽ΔBDF解：连BD∵EB⊥AD∴弧AB＝弧BD∴∠BAD＝∠BDABD＝BA又四边形ABCD内接于⊙O∴∠BCD＝180º－∠BAD∵∠BDF＝180º－∠BDA∴∠BCD＝∠BDF又∠CBD＝∠DBF∴ΔBCD∽ΔBDF∴BD＝AB∴例2.AB为⊙O的直径，CDAB于H，BC交⊙O于F，求证：∠CFE＝∠DFB解析：连BD，由圆内接四边形的性质，得∠CFE＝∠BDC,若连接AD，则∠DFB＝∠BAD。∴要证明∠CFE＝∠DFB，只需证明∠BDC＝∠BAD∴通过证明RT△BHD∽RT△BDA即可解：连结AD，DB∵AB为⊙O的直径，CDAB于H∴∠ADB＝900,∴RT△BHD∽RT△BDA∴∠BDC＝∠BAD,又四边形EFBD内接于⊙O，∴∠CFE＝∠BDC又∵∠BAD＝∠BFD∴∠CFE＝∠BFD例3.△ABC内接于⊙O，过点A的切线交BC的延长线于P，点D为AB的中点，PD交AC于E。求证：解析：PA切⊙O，∴PA2＝PC.PB∴只需证明：为寻找“中间比”，可作CF∥PD交AB于F，得.∴只需证明,显然DE∥CF,即有.∴“中间比”为解：作CF∥PD交AB于F∵PA切⊙O于A，∴PA2＝PB.PC∴又CF∥PD，AD＝BD.∴＝,即＝∵DE∥FC，∴，∴＝∴＝（答题时间：30分钟）1、△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，CM为AB上的中线。现以长为半径作一个圆，则A,B,C,M四点与⊙C有何关系？2、AB切⊙O于A，BO交⊙O于C，且ADOB于D，求证：∠CAD＝∠BAC3、等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径为5，tanB＝，求①BC的长，②AB边上的高。4、以△ABE的AB为直径作⊙O交BE于C，过点C的直线与AE垂直于D，又切⊙O于C，求证：AB＝AE5、已知⊙O切△ABC的边AB，BC，CA于P，Q，R，⊙O的直径为QM，直线AM交BC于N，求证：BQ＝NC6、梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC,过B作⊙O的切线分别交DA,CA的延长线于E，F①求证：AB2＝AE.BC②已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长。[参考答案]1、点B在圆外，点M在圆上，点C，A在圆内2、提示：延长AD交⊙O于E，连CE；或延长CO交⊙O于E，连AE证明即可3、①BC＝6提示：连OA交BC于E，连OB设AE＝K，OE＝5－K则RtΔBOE中用勾股定理，解得K＝1，∴BE＝，BC＝6②高为，提示：作CH⊥BA交BA的延长线于H，求解4、提示：连OC，AC证明5、提示：过M作⊙O的切线交AB、AC于E，F，连OE，OB，OC和OF，证明ΔOBQ∽ΔEOM即可6、提示：①证明ΔABC∽ΔEAB②EF＝提示：AE//BC∴∴又ΔABE∽ΔBCA∴∴∴求得EF＝
