初三数学二次函数知识精讲【同步教育信息】一.本周教学内容：二次函数二.重点、难点：1.二次函数的概念和确定二次函数的解析式。2.用待定系数法确定解析式是难点。三.知识回顾1.形如y=ax＋bx＋c（a0）的函数叫二次函数。它的图象是一条抛物线。2.通过配方，解析式可变形为y=a（x＋）＋（a）。这个式子称为二次函数的顶点式，其中点（，）为抛物线的顶点，图象的对称轴是直线x=；若抛物线与x轴有两个交点时，解析式一般可因式分解为“两根式”：y=a（x-x）（x-x）其中x，x为方程ax＋bx＋c=0（a）的两个实数根；而对于由a，b，c三个系数确定的二次函数y=ax＋bx＋c（a0）。可以把它称为一般式。3.在求二次函数的解析式时，常常应用待定系数法：选择适当的解析形式，可减少待定系数的个数，为计算带来方便。【典型例题】例1：求满足下列条件的二次函数的解析式①图象过A（1，0），B（2，0），C（3，4）三点②图象过点A（4，-3），且当x=3时，图象的最高点的纵坐标为-1③对于函数y=ax＋bx＋c（a0），a:b:c=2:3:4，且函数值的最小值为。解：①设y=a(x-1)(x-2)(a≠0)∵图象过c(3，4)∴解得a=2∴y=2x-6x+4②设y=a(x-3)-1(a<0)∵x=4时，y=-3，∴解得a=-2，∴y=-2x+12x-19③∵a：b：c=2：3：4且最小值为∴=∴=-23a∴b-4ac=-23a设a=2k，b=3k，c=4k(k>0)代入，求得k=2∴y=4x+6x+8例2：已知一条抛物线过点(2，-3)，且图象以直线x=1为对称轴，若它与x轴交于(-1，0)。求解析式。解：由对称性，抛物线对称于直线x=1∴它一定过点（3，0）和（0，-3）∴设y=a(x+1)(x-3)(a≠0)∴当x=0时，y＝－3∴a=1∴y=x-2x-3例3：以x为自变量的二次函数y=x－（2m＋2）x＋㎡＋4m－3中，m≥0且为整数，它的图象与x轴交于A，B且A，B分别位于原点的两侧，求解析式。解：显然方程有两个不相等的实根∴=4[(m+1)-(m+4m+4)+7]=4[7-(2m+3)]=8(2-m)>0∴0m<2但m为整数∴m=0或1当m=1时，xx=2>0与题设不符∴m=0，∴y=x-2x-3例4：抛物线y=x＋（a＋1）x＋b过点(3，3)，且不论x取何值时，y-x≥0，求抛物线的顶点到原点的距离。解：图象过点（3，3）∴b=-9-3a且y-x0∴=x+ax+b0即=x+ax-9-3a0对一切实数x均成立∴0解得(a+6)0但(a+6)≥0∴a=-6，b=9∴y=x-5x+9，其顶点为（，）∴距离d=【模拟试题】（答题时间：25分钟）1.二次函数y=－x＋2x－3可配方成y=a（x＋m）＋k（a）的形式为；它的顶点坐标为，对称轴为直线；当x取，函数的最值为。2.在函数y=5－x，y=2－，y=－x（x－1）＋x，y=－x＋3x－1，y=－x＋x－1，y=ax＋bx＋c中，以x为自变量的二次函数有()A.4个B.3个C.2个D.1个3.已知一条抛物线关于直线x=－3对称，图象过(1，，6)且与y轴交于(0，－)，则x=时，抛物线与x轴相交。4.函数y=ax＋bx＋c（a0）的图象过(1，－4)，（7，8）和（5，0）三点，求图象在y轴上的截距为多少？图象与x轴相交的两个交点之间相距多少？5.抛物线y=x－2（k＋2）x＋k－4与y轴相交于负半轴上，与x轴交于A，B两点，且线段OA，OB满足3(OB－OA)=2OA·OB(O为坐标原点)，求这条抛物线所表示的函数解析式。[参考答案]1.Y=－(x－1)2－2，（1，－2），x=1，1，最大值为－22.B3.-5或-14.，65.Y=x2－2x－3，设A(x1，0)，B(x2，0)，显然x1<0，x2>0或x1>0，x2<0①若x1<0，x2>0，则OA=－x，OB=x，且x1，x2为方程x－2(k＋2)x＋k－4的两根∴x1＋x2=2k＋4，x1x2=k－4<0又由题设条件，得3(x1＋x2)=－2x1x2∴3（2k＋4）=－2（k－4）解得k=－1或－2但Δ>0，∴k=－2舍去，∴k=－1∴y=x－2x－3.②若x1>0，x2<0，则OA=x，OB=－x，同①可解得k=5，∴y=x2－14x＋21但抛物线与y轴交于负半轴∴y=x2－2x－3
