3.1.4空间向量的直角坐标运算高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何启动思维在各棱长均为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为面A1B1C1D1的中心，设＝，＝，＝，你能否用，，表示出？表示出的结果还有没有其他表示方法？DD1ABCB1A1C1O走进教材单位正交基底空间直角坐标系两两垂直公共点1.单位正交基底及向量的坐标表示走进教材空间向量的坐标表示平移起点x＋y＋z＝(x，y，z)x，y，z走进教材2．空间向量运算的坐标表示若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3).向量运算坐标表示(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3走进教材向量运算坐标表示a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0√𝑎12+𝑎22+𝑎32⃗𝑎∙⃗𝑏|⃗𝑎|∨⃗𝑏∨¿¿走进教材3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)＝；(2)dAB＝||＝.(a2－a1，b2－b1，c2－c1)自主练习1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则()A.＝(－1,2,1)B．＝(1,3,4)C．＝(2,1,3)D．＝(－2，－1，－3)C自主练习2．已知＝(1，－2,1)，＋＝(－1,2，－1)，则等于()A．(2，－4,2)B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2)D．(2,1，－3)B自主练习3．已知＝(1,2，－y)，＝(x,1,2)，且(＋2)(2∥－)，则x＝________，y＝________.-4典例导航题型一：空间向量的坐标运算例1已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，(1)求＋，，.(2)求，夹角的余弦值．(3)问是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立，若存在，求出x，y的值．典例导航＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)，(1)＋＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(1－1,1＋0,0＋2)＝(0,1,2)，＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(1－(－1)，1－0,0－2)＝(2,1，－2)，＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1；(2)cos<，>＝＝－；(3)假设存在x、y∈R满足条件，则由已知可得＝(－2，－1,2)．∴(－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)，∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)，∴x－2y=-1,x－y=0,2y=2，∴存在实数x＝1，y＝1使得结论成立．解：变式训练1.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)(1)求＋，，.(2)求，夹角的余弦值．(3)问是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立，若存在，求出x，y的值．解：＝(-1,0,2)，＝(0,－1,2)，＝(－1,1,0)，(1)＋＝(-1,1,4)，＝(0,1,－2)，＝-1.变式训练(2)cos<，>＝＝；(3)假设存在x、y∈R满足条件，则由已知(－1,0,2)＝x(-1,1,0)＋y(0,－1,2)，∴(－1,0,2)＝(－x，x－y,2y)，∴－x=-1,x－y=0,2y=2，∴存在实数x＝1，y＝1使得结论成立．典例导航例2已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝，＝.(1)设||＝3，∥，求；(2)若k＋与k－2互相垂直，求k.(1) ＝(－2，－1,2)，且∥，∴设＝λ＝(－2λ，－λ，2λ).∴||＝＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.∴＝(－2，－1,2)或＝(2,1，－2).解：题型二：利用坐标运算解决平行、垂直问题典例导航(2) ＝＝(1,1,0)，＝＝(－1,0,2)，∴k＋＝(k－1，k,2)，k－2＝(k＋2，k，－4). (k＋)⊥(k－2)，∴(k＋)·(k－2)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或＝－.变式训练2.已知＝(1,5，－1)，＝(－2,3,5)．(1)若(k＋)(∥－3)，求k的值；(2)若(k＋)(⊥－3)，求k的值．解：(1)k＋＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，－3＝(7，－4，－16)．(1) (k＋)∥(－3)，∴，解得k＝－.(2) (k＋)(⊥－3)，∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.典例导航题型三：利用坐标运算解决距离、夹角问题例3棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点．求与所成角的余弦值并求CE的长．D1DABCA1B1C1zyxFEG建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0,1)，C(0,2,0)，F(1,1,0)，G(2,2,1).∴＝(1,1,-1)，＝(2,0,1)，=1，||=，||=，解：典例导航∴cos<,>＝.又＝(0,-2,1)，∴||=，即CE=.变式训练3.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．解：以C为原点建立空间直角坐标系．(1)...
