人教A版选修2导数的几何意义学案VIP专享VIP免费

********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星导数的几何意义[学习目标]1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点一曲线的切线如图所示，当点Pn沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.思考有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点，你认为正确吗？答案不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率.思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导.知识点三导函数的概念********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时，f′(x)便是关于x的一个函数，称它为函数y＝f(x)的导函数，简称导数，也可记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数y′|0xx就是函数y＝f(x)在开区间(a，b)(x∈(a，b))上的导数f′(x)在x＝x0处的函数值，即y′|0xx＝f′(x0)，所以函数y＝f(x)在x＝x0处的导数也记作f′(x0).思考如何正确理解“函数f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？答案“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关.题型一求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例1求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程.解因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f′(1)＝limΔx→01＋Δx3－1＋Δx＋3－1－1＋3Δx＝limΔx→0Δx3＋3Δx2＋2ΔxΔx＝limΔx→0[(Δx)2＋3Δx＋2]＝2，故所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.反思与感悟若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).跟踪训练1(1)曲线f(x)＝13x3－x2＋5在x＝1处切线的倾斜角为.(2)曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为.答案(1)34π(2)(－1，－1)或(1,1)解析(1)设切线的倾斜角为α，则********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星tanα＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0131＋Δx3－1＋Δx2＋5－13－1＋5Δx＝limΔx→013Δx3－ΔxΔx＝limΔx→0[13(Δx)2－1]＝－1. α∈[0，π)，∴α＝34π.∴切线的倾斜角为34π.(2)设点P的坐标为(x0，x30)，则有limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→03x20Δx＋3x0Δx2＋Δx3Δx＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20.∴3x20＝3，解得x0＝±1.∴点P的坐标是(1,1)或(－1，－1).2.求曲线过某点的切线方程例2求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程.解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02x＋Δx－x＋Δx3－2x＋x3Δx＝limΔx→0[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.设切点的坐标为(x0,2x0－x30)，∴切线方程为y－2x0＋x30＝(2－3x20)(x－x0).又 切线过点(－1，－2)，∴－2－2x0＋x30＝(2－3x20)(－1－x0)，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星即2x30＋3x20＝0，∴x0＝0或x0＝－32.∴切...