人教A版选修2数学归纳法学案VIP专享VIP免费

********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星数学归纳法[学习目标]1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识点一归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.思考下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数.(1)1,5,9,13,17，()；(2)23，1,112，214，338，()；(3)34，58，12，922，1132，()；(4)32,31,16,26，()，()，4,16,2,11.答案(1)21；(2)8116；(3)1344；(4)821.知识点二数学归纳法1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.2.应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤②的证明必须以“假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件.思考(1)对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝an1＋an(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答案(1)a1＝1，a2＝12，a3＝13，a4＝14.猜想数列的通项公式为an＝1n.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明.(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下.题型一用数学归纳法证明恒成立例1求证：(n＋1)(n＋2)·⋯·(n＋n)＝2n·1·3·⋯·(2n－1)(n∈N*).证明(1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·⋯·(k＋k)＝2k·1·3·⋯·(2k－1)，那么，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·⋯·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·⋯·(k＋k)·2k＋12k＋2k＋1＝2k·1·3·⋯·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·⋯·(2k－1)·[2(k＋1)－1]＝右边.∴当n＝k＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原等式均成立.反思与感悟用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.跟踪训练1用数学归纳法证明12＋32＋52＋⋯＋(2n－1)2＝13n(4n2－1)(n∈N*).证明(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即12＋32＋52＋⋯＋(2k－1)2＝13k(4k2－1)，则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋⋯＋(2k－1)2＋(2k＋1)2********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星＝13k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝13k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2＝13(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]＝13(2k＋1)(2k2＋5k＋3)＝13(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)＝13(k＋1)(4k2＋8k＋3)＝13(k＋1)[4(k＋1)2－1]，即当n＝k＋1时，等式成立.由(1)(2)知，对一切x∈N*等式成立.题型二证明不等式问题例2已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，用数学归纳法证明对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·⋯·bn＋1bn＞n＋1成立.证明由已知条件可得bn＝2n(n∈N*)，∴所证不等式为2＋12·4＋14·⋯·2n＋12n＞n＋1.(1)当n＝1时，左边...