高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1、数列的定义：一列有________的数称为一个数列。（注：有顺序不等同于有规律）2、数列的一般记号：a1，a2，a3，⋯an，⋯简记为_______,其中an是数列的第___项，也叫______。3、数列的通项公式：是指用_____（n为正整数）表示an的等式，即an=f（n）。显然数列是以___为自变量____为因变量的函数。其图像是对应函数图像上的一些_________的点。通项公式的作用：把n用1，2，3，⋯代入可以求出所有项；还可以根据它研究这个数列的性质如单调性。4、数列的递推公式：连接数列中任意两项或多项之间的等式，也可以是an与Sn之间的等式。如a1=1，an+1=2an+1；如a1=1，an=a1+2a2+3a3+⋯(n－1)an－1（n≥2）；如Sn=2an+1。它的作用与数列的通项公式基本相同。不同的是要求a2必先求a1，要求a3必先求a2，⋯6、等差数列与等比数列的对比等差数列等比数列定义a2―a1=a3―a2=⋯=an―an―1=an+1―an=⋯⋯＝d（常数）或an+1―an=d（常数）an―an―1=d（常数）（n≥2）31212nnaaaqaaa（常数）或1nnaqa（常数）qaann1（常数）（n≥2）通项公式an=a1+(n－1)dan=am+(n-m)dan=a1×qn－1an=amq(n－1)前n项求和公式112nnnSnad（）12naan21()22ddnan11111111nnnnaqSaaqaqqqq，（），q≠1时，Sn=A-Aqn.性质am+an=ap+aq(m+n=p+q)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n⋯是等差数列奇数项与偶数项各成公差为2d的等差数列am×an=ap×aq(m+n=p+q)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n⋯是等比数列奇数项与偶数项各成公比为q2的等比数列其他a，b，c成等差数列，称b是a，c的等差中项b―a=c―b2b=a+c.a，b，c成等比数列，称b是a，c的等比中项，有b2=ac（反之不成立）练习2、（1）已知{an}是等差数列且S12=20，S24=30，求S36.(2)已知{an}是等比数列且S12=20，S24=30，求S36。练习3、（1）直角三角形的三边a，b，c成等差数列，求两锐角的正弦值。（2）直角三角形的三边a，b，c成等比数列，求两锐角的正弦值。8、关于等差数列中Sn的最值问题（1）函数性质法：根据Sn21()22ddnan可知，当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值。（2）正负项分析法：根据等差数列的单调性及Sn定义知，把数列中的所有正项相加得到Sn的最大值；所有负项相加得到Sn的最小值。这种解法的关键是找到符号不同的相邻两项。练习5、⑴已知等差数列{an}满足a1＞0，3a4=2a9，求Sn取最大值时n的值。⑵已知等差数列{an}满足a1＜0，S7=S10，求Sn取最小值时n的值。9、判断数列{an}为等差数列的方法：判断数列{an}为等比数列的方法：⑴an=An+B（A，B为常数）；⑴an=Aqn－1（A，q为非零常数）；⑵Sn=An2+Bn（A，B为常数）；⑵Sn=A－Aqn（A，q为非零常数）；⑶an+1－an=d（d为常数）；⑶1nnaqa（q为常数）;（4）an+2+an=2an+1.(4)an+2an=an+12(an+1≠0)练习6、（1）已知数列{an}中a1=1，2211nnnaaa，求证数列{na1}是等差数列；并求通项an。2）已知关于x的二次方程anx2－an－1x+1=0的两根为α，β满足6α－2αβ+6β=3，a1=1。（I）用an表示an+1；（II）求证：2{}3na是等比数列；（III）求{an}的通项公式。10、对称设法：三个数成等差数列时，可设这三个数为：adaad，，三个数成等比数列时，可设这三个数为：aaaqq，，。练习7、已知四个数，前三个数成等比数列，和为19；后三个数列成等差数列和为12，求这四个数。11、求数列{an}的前n项和的方法：观察其通项公式的特点，选择对应的求和方法。⑴公式法：BAnan或nnAqa（注：讨论公比q是否为1）练习求和：1+x+x2+⋯+xn（x≠0）⑵分组求和法：nncqBAna)(练习8、⑴求数列的前n项和：111135248，，，；⑵an=3×2n－1，求前n项和Sn。⑶错位相减法：nnqBAna)(，an=等差数列×等比数列练习9、已知数列{an}的通项公式为213nnna，求Sn。⑷裂项相消法：)11(1ab1baab练习10、数列{an}中342a2nnn，求Sn。12、根据数列的递推公式求数列的通项公式⑴型如：)(1nfaann的用累加法；练习11、已知数列{an}满足11a，1ln1nnaann（n≥2），求na。⑵型如：)(1nfaann的用累乘法；练习12、已知数列{an}满足11a，1)1(nnanna（n≥2），求na。⑶型如：BAaann1的用构造法；练习13、已知数列{an}满足11a，431nnaa（n≥2），求na。⑷型如：0),(nnSaf的用消元法；练习14、已知数列{an}满足11a，naSnn2，求na。
