高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第一章过关测试卷（100分，45分钟）一、选择题(每题6分，共36分）1.在△ABC中，A=60°，且最大边长和最小边长是方程01172xx的两个根，则第三边的长为()A.2B.3C.4D.52.在△ABC中,A=60°，AB=2,且△ABC的面积为23,则BC的长为（）A.3B.3C.7D.73.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且22S2cba,则tanC等于（）A.43B.34C.34D.434.△ABC的周长等于20，面积是310，A=60°，则角A的对边长为()A.5B.6C.7D.85.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果cab2，B=30°，△ABC的面积为23，那么b等于()A.231B.31C.232D.326.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图1，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1m，且AC比BA长0.5m，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，AC最短为（）A.231mB.)31(mC.(2+3)mD.2m图1图2二、填空题（每题5分，共20分）7.如图2，用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和，已知B，D间的距离为a，测角仪的高度是b，则气球的高度为．8.在Rt△ABC中，C=90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足cxba，则实数x的取值范围是．9.若在△ABC中，AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值是．10.在正三角形ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，则ABAD．三、解答题（13题16分，其余每题14分，共44分）11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinA=3csinB,a=3,32cosB．(1)求b的值；(2)求sin23Bπ的值．12.在△ABC中，tanA=41，tanB=53．(1)求角C的大小；(2)若△ABC最大边的长为17，求最小的边长．13.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c，设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA)，p2,2ab．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p,c=2,3πC，求△ABC的面积S．参考答案及点拨一、1.C点拨：由A=60°，不妨设△ABC中最大边长和最小边长分别为b，c，故b+c=7，bc=11.由余弦定理得1611373)(60cos222222bccbbccba，∴a=4.2.A点拨：S△ABC232322160sin21ACACAB,所以AC=1,所以360cos2222ACABACABBC,所以3BC.3.C点拨：由22)(2cbaS得22222cabbaS,即2222sin212cabbaCab,所以2222sincbaabCab，又12sin22sin2cos222CababCababcbaC,所以2sin1cosCC,即2cos2sin2cos22CCC,所以22tanC,即3421222tan12tan2tan22CCC.4.C点拨： a+b+c=20，∴acb20，即222404002aabccb，∴bcaacb240400222.①又212cos222bcacbA,∴bcacb222.②又S△ABC310sin21Abc,∴bc=40.③由①②③可知a=7.5.B点拨：由2b=a+c，得acbca24222.又S△ABC23且30B，∴S△ABC23430sin21sin21acacBac，得ac=6，∴124222bca.由余弦定理得23442cos2222bacbcaB，又b>0，解得b=1+3.6.C点拨：设BC=am(a＞1)，AB=cm，AC=bm，则21cb,在△ABC中，60cos2222abbac.将21bc代入上式得abbab22221，化简得，4112aab. a＞1,∴01a.∴1412aab,令01tta，则24343241122tttttttb，设0,0xmxmxxf,由函数知识可得，当x∈[，m）时，f(x)为增函数，当mx,0时，f(x)为减函数，∴当23t，即231a,231a时，b有最小值为32.因此AC最短为）（32m.二、7.basinsinsin点拨：在△ACE中，AC=BD=a，AECACE,,根据正弦定理，得sinsinaAE.在Rt△AEG中，sinsinsinsinaAEEG.所以baEFsinsinsin.8.21，点拨:)4(sin2cossinsinsinsinπAAACBAcbax.又2,0πA，∴4344πππA，∴14sin22πA，即2,1x.9.22点拨：设BC=x，则AC=x2，根据面积公式得S△ABCBxBBCAB2cos1221sin21，①根据余弦定理得xxxxxBCABACBCABB4442(42cos222222），将其代入①式得S△ABC16121284412222xxxx，由三角形三边关系有.22,22xxxx解得222222x，故当32x时，S△ABC取得最大值22.10.332点拨：如答图1，设折叠后A点落在边BC上的点P处，连接AP，显然A，P两点关于直线DE对称，设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABP中，120180BAPABPAPB,由正弦定理得APBABBAPBPsinsin,∴120sinsinaBP.在△PBD中，BDPBPDBPDPsinsin，∴60sin2sinxBP，从而sin60sin2120sinsinxa，∴3)260(sin23)120sin(2sin60sinsinaax. 0°...
