灿若寒星制作灿若寒星制作专训4分类讨论思想在线段和角的计算中的应用名师点金：解答有关点和线的位置关系、线段条数或长度、角的个数或大小等问题时，由于题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，就应不重不漏地分情况加以讨论，这种思想称为分类讨论思想．需要进行分类讨论的题目，综合性一般较强．分类讨论思想在线段的计算中的应用1．已知线段AB＝12，在AB上有C，D，M，N四点，且AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，AM＝12AC，DN＝14DB，求线段MN的长．2．如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.(1)若点P在数轴上，且PA＋PB＝6，求点P对应的数；(2)若点M在数轴上，且MA∶MB＝1∶3，求点M对应的数；(3)若点A的速度为5个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，点O的速度为1个单位长度/秒，A，B，O同时向右运动，几秒后，点O恰为线段AB的中点？【导学号：11972078】(第2题)灿若寒星制作灿若寒星制作分类讨论思想在角的计算中的应用3．如图，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°.(1)求∠AOB的度数；(2)过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数．(第3题)灿若寒星制作灿若寒星制作4．已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.(1)如图，若OC在∠AOB内，探究∠MON与∠AOB的数量关系；(2)若OC在∠AOB外，且OC不与OA，OB重合，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系．(提示：分三种情况讨论)(第4题)灿若寒星制作灿若寒星制作答案1．解：因为AB＝12，AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，所以AC＝16AB＝12×16＝2，CD＝13AB＝12×13＝4，DB＝12AB＝12×12＝6.因为AM＝12AC，DN＝14DB，所以MC＝12AC＝2×12＝1，DN＝14DB＝6×14＝32.①当点N在点D右侧时，如图①，MN＝MC＋CD＋DN＝1＋4＋32＝132；②当点N在点D左侧时，如图②，MN＝MC＋CD－DN＝1＋4－32＝72.综上所述，线段MN的长为132或72.(第1题)点拨：首先要根据题意，画出图形．由于点N的位置不确定，故要考虑分类讨论．2．解：(1)①当点P在A，B之间时，不合题意，舍去；②当点P在A点右边时，点P对应的数为2；③当点P在B点左边时，点P对应的数为－4.(2)①M在线段AB上时，M对应的数为0；②M在线段BA的延长线上时，M对应的数为3；③M在线段AB的延长线上时，不合题意，舍去．(3)设运动x秒时，点B运动到点B′，点A运动到点A′，点O运动到点O′，此时O′A′＝O′B′，点A′，B′在点O′两侧，则BB′＝2x，OO′＝x，AA′＝5x，所以点B′对应的数为2x－3，点O′对应的数为x，点A′对应的数为5x＋1，所以O′A′＝5x＋1－x＝4x＋1，O′B′＝x－(2x－3)＝3－x，所以4x＋1＝3－x，解得x＝0.4.即0.4秒后，点O恰为线段AB的中点．3．解：(1)设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，灿若寒星制作灿若寒星制作由题意得90°－2x＋30°＝x，解得x＝40°.因为∠AOC＝2∠BOC，所以∠AOB＝∠BOC＝40°.(2)情况一：当OD在∠AOC内部时，如图①，由(1)得∠AOC＝80°.因为∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝80°－20°＝60°.(第3题)情况二：当OD在∠AOC外部时，如图②，由(1)得∠AOC＝80°.因为∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，所以∠COD＝∠AOD＋∠AOC＝20°＋80°＝100°.综上所述，∠COD的度数为60°或100°.4．解：(1)因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC.所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝12∠AOC＋12∠BOC＝12(∠AOC＋∠BOC)＝12∠AOB.(2)情况一：如图①，因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝12∠AOC＝12(∠AOB＋∠BOC)，∠NOB＝12∠BOC.所以∠MON＝∠MOB＋∠NOB＝∠MOC－∠BOC＋12∠BOC＝∠MOC－12∠BOC＝12(∠AOB＋∠BOC)－12∠BOC＝12∠AOB.情况二：如图②，因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠AOM＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC＝12(∠AOB＋∠AOC)＝12∠AOB＋12∠AOC.所以∠MON＝∠AOM＋∠AON＝12∠AOC＋(∠NOC－∠AOC)＝∠NOC－12∠AOC＝12∠AOB＋12∠AOC－12∠AOC＝12∠AOB.灿若寒星制作灿若寒星制作情况三：如图③，因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC.所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝12∠AOC＋12∠BOC＝12(∠AOC＋∠BOC)＝12(360°－∠AOB)＝180°－12∠AOB.综上所述，∠MON与∠AOB的数量关系是∠MON＝12∠AOB或∠MON＝180°－12∠AOB.(第4题)初中数学试卷灿若寒星制作
