人教版八年级数学上册讲义：1二次全等VIP免费

二次全等（讲义）课前预习1.回顾七年级学习的几何初步填空：遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度：由平行想到_____________，____________，____________；由垂直想到__________________，_____________________；由外角想到_________________________________________．2.已知：如图，AB，CD相交于点O，AO=BO，CO=DO，过点O作EF交AC于点E，交BD于点F．求证：△BOF≌△AOE．精讲精练1.已知：如图，点C为线段AB上一点，在△ACM，△CBN中，AC=CM，BC=CN，FCBOEDA∠ACM=∠BCN=60°，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F．求证：①△CAN≌△CMB；②△CEN≌△CFB．NMCFEBA2.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，延长CB到点G，使BG=DE，连接EF，AG．求证：①△ADE≌△ABG；②EF=DE+BF．3.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD相交于点E，BE=CE．求证：△ABC≌△DCB．GABCEDFCBEDA4.已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作ED⊥AC于点E，FB⊥AC于点F，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD．求证：△DEG≌△BFG．FCBGEDA5.已知：如图，AB=AC，BD=CD，AD与BC交于点O．求证：AD⊥BC．CA6.已知：如图，在Rt△ABE和Rt△ACF中，∠E=∠F=90°，BE=CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC=∠FAB．求证：AM=AN．NFCBMEDA7.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．试猜想AB和AC的数量关系，并证明你的猜想．FEA【参考答案】课前预习1.同位角，内错角，同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2.证明：如图，在△BOD和△AOC中，BOAOBODAOCDOCO（已知）（对顶角相等）（已知）∴△BOD≌△AOC（SAS）∴∠B=∠A（全等三角形对应角相等）在△BOF和△AOE中，BABOAOBOFAOE（已证）（已知）（对顶角相等）∴△BOF≌△AOE（ASA）精讲精练1.证明：如图，①∵∠ACM=∠BCN=60°∴∠MCN=60°∴∠ACN=∠MCB=120°在△CAN和△CMB中，ACMCACNMCBCNCB（已知）（已证）（已知）∴△CAN≌△CMB（SAS）②∵△CAN≌△CMB∴∠ANC=∠MBC（全等三角形对应角相等）∵∠ECN=60°，∠FCB=60°∴∠ECN=∠FCB在△CEN和△CFB中，ECNFCBCNCBENCFBC（已证）（已知）（已证）∴△CEN≌△CFB（ASA）2.证明：如图，①∵∠D=∠ABC=90°∴∠ABG=90°∴∠D=∠ABG在△ADE和△ABG中，ADABDABGDEBG（已知）（已证）（已知）∴△ADE≌△ABG（SAS）②∵△ADE≌△ABG（已证）∴AE=AG（全等三角形对应边相等）∠EAD∠GAB（全等三角形对应角相等）∵∠EAF45°，∠BAD=90°∴∠BAF+∠EAD=45°∴∠BAF+∠GAB=45°即∠GAF=∠45°∴∠GAF=∠EAF在△AFE和△AFG中，AEAGEAFGAFAFAF（已证）（已证）（公共边）∴△AFE≌△AFG（SAS）∴EF=GF（全等三角形对应边相等）∵GF=BG+BF∴EF=DE+BF3.证明：如图，在△AEB和△DEC中，ADAEBDECBECE（已知）（对顶角相等）（已知）∴△AEB≌△DEC（AAS）∴AB=DC（全等三角形对应边相等）在Rt△ABC和Rt△DCB中，BCCBABDC（公共边）（已证）∴△ABC≌△DCB（HL）4.证明：如图，∵AECF∴AE+EFCF+EF即AF=CE∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠AFB=∠CED=90°在Rt△ABF和Rt△CDE中，ABCDAFCE（已知）（已证）∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF=DE（全等三角形对应边相等）在△DEG和△BFG中，DEGBFGEGDFGBDEBF（已证）（对顶角相等）（已证）∴△DEG≌△BFG（AAS）5.证明：如图，在△ABD和△ACD中，ABACBDCDADAD（已知）（已知）（公共边）∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）在△BAO和△CAO中，ABACBAOCAOAOAO（已知）（已证）（公共边）∴△BAO≌△CAO（SAS）∴∠AOB=∠AOC（全等三角形对应角相等）∵∠AOB+∠AOC=180°∴∠AOB=90°∴AD⊥BC6.证明：如图，∵∠EAC=∠FAB∴∠EAC+∠BAC=∠FAB+∠BAC即∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中，BAECAFEFBECF（已证）（已知）（已知）∴△ABE≌△ACF（AAS）∴AE=AF（全等三角形对应边相等）在△AEM和△AFN中，EFAEAFEAMFAN（已知）（已知）（已知）∴△AEM≌△AFN（ASA）∴AM=AN（全等三角形对应边相等）7.AB=AC，理由如下：证明：如图，∵DF⊥AB，DE⊥AC∴∠AFD=∠AED=∠BFD=∠CED=90°∵AD平分∠BAC∴∠FAD=∠EAD在△AFD和△AED中，AFDAEDFADEADADAD（已证）（已证）（公共边）∴△AFD≌△AED（AAS）∴DF=DE，AF=AE（全等三角形对应边相等）∵点D是BC的中点∴BD=CD在Rt△BFD和Rt△CED中，BDCDDFDE（已证）（已证）∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）∴BF=CE（全等三角形对应边相等）∴AF+BF=AE+CE即AB=AC