理论力学9-拉格朗日方程VIP免费

第九章拉格朗日方程第九章拉格朗日方程运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多，方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。9-19-1动力学普遍方程动力学普遍方程9-1-1方程的建立9-1-2典型问题1.一般形式n个质点。对有im9-1动力学普遍方程9-1-1方程的建立0iNiiimFFa0iNiiimFFar12ii,,...,nr给,则有而双面理想约束0NiiFr故有0iIiiFFr动力学普遍方程或达朗贝尔－拉格朗日原理(9-1)不论约束完整，定常与否均适用。则有12i,n2.广义坐标形式设完整约束系统有k个自由度，可取为广义坐标。123kq,q,q...q,12kq,q,...,q,tiirr9-1动力学普遍方程9-1-1方程的建立1kiijjjqqrr则代入式(9-1),交换i，j次序，得10jjk*QQjjFFq广义主动力广义惯性力1jniQiijFqrFddjn*iQiii=1jF=-mqra式中因各线性无关故有jq0*jjQQFF1,2,jk（）(9-2)等价形式仅jFW=00jq1,2,jk（）(9-3)9-1-1方程的建立9-1动力学普遍方程式中包含了惯性力虚功!9-1-2典型问题12P,P,q,,r,1.1.已知重量轮转动惯量，求加速度?Ja加惯性力，受主动力如图。给连杆，则rrr12122sin220PPrPPraarJggr2122122sin22P+Pgra=P+Pr+Jg由有0(r)FW,1p2p1parrJ1pag1pag2pagJ9-1动力学普遍方程1.1.由动能定理求导，如何求解?2.2.如何求约束力?2.2.已知重量轮纯滚,水平面光滑,求三棱柱加速度。12G,G,q,r,O2G1Gr9-1-2典型问题9-1动力学普遍方程加惯性力，受力如图。选广义坐标。,x由00xFW=0,,x12211cos0GGGaxrxaxggg有即cos2121rGaGG(a)又由有000FW,x,2222121cossin02GGGrrrarGrgggO2G1Gr1ax11Gga2Ggr21Gga2212Ggr9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题212122sin232sinGgaGGG式(a)代入(b),可得令时，牵连惯性力并不为零；0x21Gag令时，相对惯性力并不为零，两者相互独立。02Grg0sincos232122gGagGrgG(b)即9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题3.3.均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。12m,m,r,图(a)CAr1O2r1m2m9-1动力学普遍方程9-1-2典型问题自由度k=2的理想约束系统，取两轮转角为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示，12,图(b)CA1O2令120,0，由2()0FW1212,CCvrrarr(a)有22222()0CCmgmarJ(b)10ma1mg1OJ2mg2CJ2Cma129-1动力学普遍方程9-1-2典型问题将式(a)及22CJmr代入(b)式，得12(2)rg(c)再令120,0由1()0FW有联立(c)和(d)式，可得221011212(23),32(3)Cmgmmgarammmm101011221()0CmarJmamgr即1212223()2mrmrmrmg(d)图(b)CA1O210ma1mg1OJ2mg2CJ2Cma129-1-2典型问题9-1动力学普遍方程对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后，各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。1.1.如何求绳的张力?圆柱纯滚的条件?2.2.用动力学普遍定理如何求解?3.3.计入滑轮A质量,结果有何变化?9-1-2典型问题9-1动力学普遍方程9-29-2拉格朗日方程拉格朗日方程对于完整约束系统，动力学普遍方程为(1,2,)jj*QQF+F=0j=...k不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。jQF9-2-1两个经典微分关系第九章拉格朗日方程将能量化导出拉氏方程。j*QF9-2-2拉氏方程基本形式9-2-4拉氏方程的应用再对广义速度jq求偏导数，得式(9-7)表明，ijqr可对的分子与分母“同时消点”。1(,,,),iiktqqrr因对时间t求导数，1kiiilllqqtrrr得(9-6)iijjqq...