高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)VIP专享VIP免费

1高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1）pxy22（0p），其焦点为)0,2(pF，准线为2px；（2）pxy22（0p），其焦点为)0,2(pF，准线为2px；（3）pyx22（0p），其焦点为)2,0(pF，准线为2py；（4）pyx22（0p），其焦点为)2,0(pF，准线为2py.2.抛物线的标准方程的特点2高中数学讲义之解析几何抛物线的标准方程pxy22（0p）或pyx22（0p）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x轴时，抛物线方程中的一次项就是x的一次项，且一次项x的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y轴时，抛物线方程中的一次项就是y的一次项，且一次项y的符号指明了抛物线的开口方向.三、抛物线的性质以标准方程pxy22（0p）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：0x，Ry；（2）顶点：坐标原点)0,0(O；（3）对称性：关于x轴轴对称，对称轴方程为0y；（4）开口方向：向右；（5）焦参数：p；（6）焦点：)0,2(pF；（7）准线：2px；（8）焦准距：p；（9）离心率：1e；（10）焦半径：若),(00yxP为抛物线pxy22（0p）上一点，则由抛物线的定义，有20pxPF；（11）通径长：p2.3高中数学讲义之解析几何注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线pxy22（0p）的焦点)0,2(pF和准线l：2px为例，可求得其焦准距为ppp)2(2；注2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的弦。设抛物线的方程为pxy22（0p），过其焦点)0,2(pF且不垂直于x轴的直线交该抛物线于),(11yxA、),(22yxB两点，则由抛物线的定义，可知其焦半径2)2(11pxpxAF，2)2(22pxpxBF，于是该抛物线的焦点弦长为pxxpxpxBFAFAB2121)2()2(.注3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。设抛物线的方程为pxy22（0p），过其焦点)0,2(pF且垂直于x轴的直线交该抛物线于A、B两点（不妨令点A在x轴的上方），则),2(ppA、),2(ppB，于是该抛物线的通径长为pppAB2)(.四、与抛物线相关的几个重要结论设抛物线的方程为pxy22（0p），点)0,2(pF是其焦点，直线l：2px是其准线，若4高中数学讲义之解析几何过该抛物线焦点F的直线交该抛物线于),(11yxA、),(22yxB两点（即线段AB是该抛物线的焦点弦），并且点A、点B在其准线上的垂足分别为点C、点D，线段CD的中点为点N，则可以证明：（1）221pyy，4221pxx；（2）221sin2ppxxAB（这里，为直线AB的倾斜角）；（3）sin22pSAOB（这里，为直线AB的倾斜角）；（4）以线段AB为直径的圆与该抛物线的准线相切；（5）90ANB，90CFD；（6）以线段CD为直径的圆切直线AB于点F.证明：由于当直线AB的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线AB过点)0,2(pF，我们可巧设其方程为2cotpyx，这里，为直线AB的倾斜角.（1）联立2cot22pyxpxy，得0cot222pypy由韦达定理，有cot21cot221ppyy，22211ppyy故ppppyyyypyyp...