复数的三种表示形式VIP免费

2.3复数的三种表示形式在电工学中，正弦交流电的电压为，而复数的虚部恰好是电压的表达式，因此可考虑利用复数的运算法则进行正弦交流电的有关计算。umtUusinmmcosisinUtUtUt通过前面的学习，我们知道在电工学关于交流电的研究中，电流、电压等物理量都可用正弦型函数来描述，但是解题时的计算过程却相当复杂。当复数用三角形式表示后，处理这类问题就变得十分简捷，从而确立了复数在交流电研究中的地位。复数的三角形式复数的三种表示形式复数的极坐标形式复数的指数形式,cos,22rabar其中，,sinrbZrbiaZacosrbisinrbxy复数的三角形式任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式。我们把r(cosθ＋isinθ)叫做复数的三角形式。z=r(cosθ＋isinθ)的形式。解：例1将复数表示成三角形式。3i因为，b＝1，所以3a2(3)12r，πarg3i6)6sin6(cos23ii即例2将复数表示成代数形式。2π2π2cosisin33（）解：2π2π2cosisin33（）)3sin3cos(2i)]3sin()3[cos(2ii31)2321(2i例3复数是不是复数的三角形式，如果不是，把它表示成三角形式。ππ2(cosisin)44z解：不是复数的三角形式。)4sin4(cos2iz)4sin4cos(2i)]4sin(4[cos(2i)45sin45(cos2i复数的极坐标形式如图所示，设复数z＝a＋bi的模为r，辐角为θ，则复数z＝a＋bi还可以用来表示，此时a=rcosθ，b＝rsinθ。rzrz我们把称为复数的极坐标形式。例1将复数用极坐标形式表示出来。3iz解：3iz2)1()3(22r11π26z因为的模辐角61162所以例2将复数化为三角形式和代数形式。π32z解：π32z)]2sin()2[cos(3i)2sin2(cos3i)0(3ii3分析：因为的模是3，辐角是π32z2复数的指数形式根据欧拉公式，任何一个复数z=r(cosθ＋isinθ)都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式。其中r为复数的模，底数e＝2.71828…为无理数，幂指数中的i为虚数单位，θ为复数的辐角，单位为弧度。例如：iecosisiniezr)65sin65(cos2i652ie7sin7cosi7ie例1把复数表示为指数形式和极坐标形式。解：例2把复数表示为三角形式和极坐标形式。解：3(cos150isin150)25πi6335π5π(cos150isin150)(cosisin)22663e235π262π3i0.78e2π3i2π2π0.78e0.78cos()isin()332π0.783