数列求通项与求和常用方法归纳+针对性练习题VIP免费

数列通项与求和常见方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法：①②(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：①②③④⑤(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法).(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法).(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1：求数列的通项[题型1]解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。第1页共9页【例1】已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，[题型2]解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。【例2】已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，[题型3](其中p，q均为常数，且)。解法(待定系数法)：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。【例3】已知数列中，，，求。解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.[题型4](其中p，q均为常数，且)。(或,其中p，q,r均为常数)。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列(其中)，得：再待定系数法解决。【例4】已知数列中，,，求。第2页共9页解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以[题型5]递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。【例5】已知数列前n项和.(1)求与的关系；(2)求通项公式.解：(1)由得：于是所以.(2)应用题型4(，其中p，q均为常数，且)的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以[题型6]解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。【例6】已知数列中，，求数列的通项公式。解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。考点2：数列求和[题型1]公式法【例7】已知是公差为3的等差数列，数列满足(1)求的通项公式；第3页共9页(2)求的前项和.解：(1)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2…2分通项公式为an=2+3(n-1)=3n-1…6分(2)由()Ⅰ知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以{bn}是公比为的等比数列…9分所以{bn}的前n项和Sn=…12分[题型2]裂项求和【例8】为数列{}的前项和.已知＞0，.(1)求{}的通项公式；(2)设,求数列{}的前项和.解析：(1)=；(2)由(1)知，=，所以数列{}前n项和为==.[题型3]错位相减求和【例9】已知数列和满足，.(1)求与；(2)记数列的前n项和为，求.解析：(1)由，得.当时，，故.当时，，整理得，所以.(2)由(1)知，所以第4页共9页所以所以.[题型4]分组求和【例10】已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1，所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.三、知能运用训练题1、(1)已知数列中，)2(12,211nnaaann，求数列的通项公式；(2)已知nS为数列的前n项和，11a，nnanS2，求数列的通项公式.【解】(1))2(12,211nnaaann，121naann11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn...