空间向量专题VIP免费

1.如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.(Ⅰ)求二面角的的余弦值；（Ⅱ）求点到面的距离.2.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，，点E是棱AB上一点．且．（1）证明：；（2）若二面角D1—EC—B的大小为，求的值．3.23、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角的余弦值；（3）求二面角A-MC-B所成的余弦值。ABCDD1A1B1C1E（第22题）4.22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．522．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝BB1，C1F＝CC1.（1）求异面直线AE与A1F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.6.24.（本题满分10分）如图，在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且（为实数）。（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；（2）试问：直线与直线能否垂直？请说明理由。C··PMABDN(第22题图)CAA1C1B1BEFA1BADCBAO（第22题）EBAB1CBAA1CBACBAC1D171.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.[来源:Zxxk.Com]22．在正方体1111ABCDABCD中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.1.(Ⅰ) ∴．在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则ABCC1B1A1FD由直线与直线所成的解为，得，即，解得∴，设平面的一个法向量为，则，取，得，平面的法向量取为设与所成的角为，则．显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．………………5分（Ⅱ），，，，．设平面的一个法向量，则，取，得，则点到平面的距离．2.3.23、解：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（Ⅰ）证明：因由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：因（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使要使为所求二面角的平面角.4.22．（本小题满分10分）证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．因为PA＝AB＝，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．（1）由BN＝BD，得N(0，，0)，由PM＝PA，得M(，0，)，所以MN＝(－，，－)，AD＝(－1，－1，0)．因为MN·AD＝0．所以MN⊥AD．………………………………………4分（2）因为M在PA上，可设PM＝λPA，得M(λ，0，1－λ)．所以BM＝(λ，－1，1－λ)，BD＝(0，－2，0)．设平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，由得其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取n＝(λ－1，0，λ)．………………………………8分因为平面ABD的法向量为OP＝(0，0，1)，所以cos＝||，即＝，解得λ＝，从而M(，0，)，N(0，，0)，所以MN＝＝．………………………………………10分5.解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则,,,，从而,.………………2分记与的夹角为，则有.由异面直线与所成角的范围为，得异面直线与所成角为60º.……4分（2）记平面和平面的法向量分别为n和m，则由题设可令，且有平面的法向量为,,.由，得；由，得.所以，即.………………8分记平面与平面所成的角为，有.由题意可知为锐角，所以.………………10分6.24.由解得取，则，因为，，，所以因为，所以是锐角，是直线与平面所成角的余角，所以直线与平面所成角的正弦值为．⑵假设，则，因为，，所以，化简，得，因为，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线垂直．7.3、解：（1）因为直三棱...