映山中学汪强如何利用三角形的中线来构造全等三角形？复习：可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。如图，若AD为△ABC的中线，必有结论：ABCDE12延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。△ABDECD△，∠1=E∠，∠B=2∠，EC=AB，CEAB∥。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。方法一：ABCDE必有结论：在AB上截取AE=AC，连结DE。△ADEADC≌△。ED=CD，321∠AED=C∠，∠ADE=ADC∠。方法二：ABCDF延长AC到F，使AF=AB，连结DF。必有结论：△ABDAFD≌△。BD=FD，如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：321如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。∠B=F∠，∠ADB=ADF∠。如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：ABCDMN方法三：作DMAB⊥于M，DNAC⊥于N。必有结论：△AMDAND≌△。DM=DN，321如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。AM=AN，∠ADM=AND∠。（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）证明：例题已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=2∠（角平分线定义）在△ABD和△EBD中 AB=EB（已知）∠1=2∠（已证）BD=BD（公共边）∴△ABDEBD△（S.A.S）1243 ∠3+4∠＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+C∠＝180°（等量代换）321∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），AD=DE（已证）∴DE=DC（等量代换）∴∠4=C∠（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）证明:例题已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCF延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=2∠（角平分线定义）在△BFD和△BCD中 BF=BC（已知）∠1=2∠（已证）BD=BD（公共边）∴△BFDBCD≌△（S.A.S）1243 ∠F＝∠C（已证）∴∠4=C∠（等量代换）321∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=F∠（等边对等角） ∠3+4∠＝180°（平角定义）∴∠A+C∠＝180°（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）证明:例题已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM作DMBC⊥于M，DNBA⊥交BA的延长线于N。 BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=2∠（角平分线定义） DNBA⊥，DMBC⊥（已知）∴∠N=DMB=90°∠（垂直的定义）在△NBD和△MBD中 ∠N=DMB∠（已证）∠1=2∠（已证）BD=BD（公共边）∴△NBDMBD△（A.A.S）12∴∠4=C∠（全等三角形的对应角相等）N43321∴ND=MD（全等三角形的对应边相等） DNBA⊥，DMBC⊥（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在RtNAD△和RtMCD△中 ND=MD（已证）AD=CD（已知）∴RtNADRtMCD△△≌（H.L） ∠3+4∠＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+C∠＝180°（等量代换）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM作DMBC⊥于M，DNBA⊥交BA的延长线于N。12N43321 BD是∠ABC的角平分线（已知）DNBA⊥，DMBC⊥（已知）∴ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）∴∠4=C∠（全等三角形的对应角相等） DNBA⊥，DMBC⊥（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在RtNAD△和RtMCD△中 ND=MD（已证）AD=CD（已知）∴RtNADRtMCD△△≌（H.L） ∠3+4∠＝180°（平角定义）∠A＝∠3（已证）∴∠A+C∠＝180°（等量代换）练习如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDE1221证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=2∠（角平分线定义）在△AED和△ACD中 AE=AC（已知）∠1=2∠（已证）AD=AD（公共边）∴△AEDACD≌△（S.A.S）3∴∠B=4∠（等边对等角）4∴∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)又...
