怎样学会数学解题陕西师范大学数学系罗增儒邮编710062电话029-8530887213609297766E-mail：zrluo@snnu.edu.cn案例1三视图的研究．例1-1如图1，给出正方体．（为了避免相关方向的线被重合（比如与重合），图形作了一些技术性的调整）（1）请画出正方体的三视图．（三个正方形，请保留）（2）若在正方体中截去一个三棱锥，得到如图2的几何体，请画出图2的三视图．（在保留图上继续，结果为图3：三个正方形都加上一条对角线）图1图2图3（3）若在图2的基础上再截去一个三棱锥得到如图4的几何体，请画出图4的三视图．图4结果：图2、图4的三视图均为图3，因为三视图中与重合，与重合，与重合．（不同的几何体有相同的三视图）例1-2（2010年宝鸡第二次质检题）如图3，是某几何体的三视图，其中三个视图的轮廓都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为．讲解：配套答案给出的几何体正是图2，体积为．但由上面的讨论知，几何体并不惟一，如图4，还可以体积为．并且，是否不会有更多情况亦有待证明．例1-3（4）若在图2的基础上再截去两个三棱锥,得到如图5的几何体，请画出图5的三视图．图5（5）再从图5几何体中截去三棱锥得到如图6的正四面体，请画出图6的三视图．图6图7结果：图5、图6的三视图均为图7，因为图5中三棱锥的三视图完全被图6的三视图重合：正视图中，图6的重合了图7的，图6的重合了图5的；左视图中，图6的重合了图5的，图6的重合了图5的；俯视图中，图6的重合了图5的，图6的重合了图5的．结论：一个几何体摆法不同可以有不同的三视图；一个几何体的位置确定之后，它的三视图是唯一的，但反过来，相同的三视图可以对应不同的几何体．因为：视图上的线可能是直观图上两根线的重合，斜线与垂线可能有相同的投影线，三个方向投影相同也可以其他方向投影不同．在三视图课题上存在创新的空间．（概念理解、技能熟练）例1-4（2010年高考数学福建卷文科第3题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图8所示，则其侧面积等于（）（A）（B）（C）（D）图8解由正视图知，三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以侧面积为，选（D）．对不对？图9复原图10左视图？主视图为矩形的三棱柱不唯一，（1）左视图可以是一般平形四边形（并非矩形）；（2）底面是正三角形的三棱柱其俯视图可以不是正三角形；就是说，题目给的三棱柱可以是斜三棱柱．题目无解．（6）下面，我们来看一个较为深刻的题目．例1-5某几何题的三视图如图11所示，求该几何题的体积（或表面积）．讲解由图11可知，三视图均为四分之一的全等扇形，半径，从而，几何体为单位球在第一卦限部分，体积为．表面积为．图11但是，这个题目的编拟存在两个“潜在假设”：（1）“潜在假设”每一视图均为四分之一的全等扇形．确实，单位球在第一卦限部分的三视图类似于图11，但题目没有说每一视图均为四分之一的全等扇形，这就存在其它可能．比如，将半径稍稍大于1的球的第一卦限部分，沿三个面各切去一层平面薄片，可以使其三视图为图11，这时，直角顶点不是圆心，各个视图相等但不是扇形．另外，对球面，过点分别作三个平行于坐标平面的截面，取所截得的第一个卦限部分（记为几何体），则由知几何体的三视图形如图11，但体积不是单位球在第一卦限部分．（2）其二，“潜在假设”三视图（如图11所示）均为四分之一全等扇形的几何体必为单位球在第一卦限部分．其实，曲面所围成的几何体不是单位球，但它“同时成立”，分别取，，都得出单位圆，并且对任意的，都有；从而，三视图均为四分之一全等扇形的几何体未必为球的一部分．可见，反思这两个“潜在假设”可以导致三视图认识的深化．例1-6（2013高考数学陕西卷文科第11题）某几何体的三视图如图12所示，则其表面积为．解该几何体是半径为1的半球，底面是半径为1的圆，所以表面积为．评析：中学生这样做，没有理由不给满分，但是，仅主视图就不能保证曲线部分为半圆，简单说，过三点图12是不是只有一条曲线？其实，还有，，（）等也经过该三点，并且凭肉眼很难看出中与的区别。科学严谨的命题应该排除歧义．比如例1-5（例1-6）可以明确为：例1-7某几何体是球体的一部分，其三视图如...
